河南省郑州四十七中2014-2015学年高二数学上学期10月月考试卷 理(含解析)

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同理f（a2）+f（a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2 ∵f（a5）=1

∴数列{yn}的前9项和为9 故选C．

点评： 本题考查等差数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴

棒的根数为6n+2．

考点： 归纳推理． 专题： 规律型．

分析： 观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．

解答： 解：由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6， ∴第n条小鱼需要（2+6n）根， 故答案为：6n+2．

点评： 本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数． 14．（5分）△ABC中三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=8，B=60°，C=75°，则边b的长为4．

考点： 正弦定理．

专题： 计算题；解三角形．

分析： 由三角形内角和定理算出A=45°，然后在△ABC中利用正弦定理，列出关于A、B、a、b的等式，解之即可得到边b的长度．

解答： 解：∵△ABC中，B=60°，C=75°， ∴A=180°﹣（B+C）=45° 由正弦定理，得

=

，

即b===4

故答案为：4

点评： 本题给出三角形的两个角和一条边的长，求另外的边长，着重考查了三角形内角和定理和利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题．

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15．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．

考点： 等差数列的性质．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： 根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围． 解答： 解：∵Sn =7n+

，当且仅当n=8时Sn取得最大值，

∴，即，解得：，

综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．

点评： 本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题． 16．（5分）△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=30°．

考点： 正弦定理的应用． 专题： 计算题．

分析： 先根据正弦定理将边的关系转化为正弦的关系，再将B=A+60°去代换消去B，得到A的关系，最后根据两角和与差的正弦公式可求出角A的正弦值，进而得到答案． 解答： 解：利用正弦定理，

∵b=2a∴sinB=2sinA∴sin（A+60°）﹣2sinA=0 ∴cosA﹣3sinA=0∴sin（30°﹣A）=0 ∴30°﹣A=0°（或180°）∴A=30°． 故答案为：30°

点评： 本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，三角函数公式比较多不容易记，要给予重视，强化记忆．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在△ABC中，已知sinB=，cosA=

，试求cosC的值．

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．

分析： 由sinB的值求出cosB的值，由cosA的值求出sinA的值，利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简cosC，把各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：∵在△ABC中，sinB=，cosA=∴cosB=±

=±，sinA=

， =

，

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 当cosB=时，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣当cosB=﹣时，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=

++

==

； ．

点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．

18．（12分）设f（x）=

，

（1）求证：f（x）+f（1﹣x）=1； （2）求和f（

）+f（

）+?+f（

）．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）由已知得f（x）+f（1﹣x）==1．

（2）由（1）得f（

）+f（

）+?+f（

）=++f（

），由此能求出结果．

，由此能证明f（x）+f（1﹣x）

解答： 解：（1）∵f（x）=，

∴f（x）+f（1﹣x）=

=

==1．

（2）由（1）得f（=++f（=1011+

）

）+f（）+?+f（）

=1011.5．

点评： 本题考查等式成立的证明，考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

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19．（12分）叙述并证明余弦定理．

考点： 余弦定理． 专题： 证明题．

分析： 先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．

方法一：采用向量法证明，由a的平方等于示出

2

的平方，利用向量的三角形法则，由

2

2

2

﹣表

，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a=b+c﹣2bccosA，同理

2

2

2

2

2

可证b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC；

方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

222

表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a=b+c

222222

﹣2bccosA，同理可证b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC．

解答： 解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹

222222

角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a=b+c﹣2bccosA，b=c+a

222

﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC． 证法一：如图，

=

=

2

2

2

2

==b﹣2bccosA+c

2

即a=b+c﹣2bccosA

222222

同理可证b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC；

证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

则C（bcosA，bsinA），B（c，0）， 22222222222

∴a=|BC|=（bcosA﹣c）+（bsinA）=bcosA﹣2bccosA+c+bsinA=b+c﹣2bccosA，

222222

同理可证b=a+c﹣2accosB，c=a+b﹣2abcosC．

点评： 此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．

*

20．（ 12分）已知数列{an}中，a1≠0，2an=a1（1+Sn）（n∈N），Sn为数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式an；

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