数学思想与方法（函数与方程的思想方法）

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所重点考查的数学思想方法之一。 1. 解方程或分析方程的解

例7.已知实数a,b,c成等差数列，且a?b?c?15.求a,b,c。 a?1,b?1,c?4成等比数列，分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

?a?b?c?15?1?解析：由题意得?a?c?2c?2由1、2两式，解得b?5，将c?10?a带入

?(a?1)(c?4)?(b?1)2?3?3式，整理得a?13a?22?0.解得a?2,或a?11.

故a?2,b?5,c?8,或a?11,b?5,c??1。经验算，上述两组数符合题意。 点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。

22通过换元构成新的方程

例8.关于x的方程9?(4?a)3?4?0恒有解，求a的取值范围。 分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。 解析：（法一）设3?t,则t?0.原方程有解即方程t?(4?a)t?4?0有正根，

x2xx???0?(4?a)2?16?0,?a?0或a??8,???x1?x2??(4?a)?0即?， ???a??4?a??4,?x?x?4?0,?12解得a??8.

（方法二）设f(t)?t?(4?a)t?4, ①当

2??0时，即(4?a)2?16?0,?a?0或a??8.

a?0时,f(t)?(t?2)2?0,得t??2?0,不符合题意； a??8时,f(t)?(t?2)2?0,得t?2?0,符合题意。?a??8

②

??0,即a??8,或a?0时?f(0)?4,故只需对称轴?4?a?0,即a??4.?a??8. 2综上可得，a??8。

点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。

3.构造方程求解

例

9.设函数

f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且存在

m,n?R,使得

[f(m)?m]2?[f(n)?n]2?0成立。

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⑴若a?1,当n?m?1且t?m时，试比较f(t)与m的大小；

⑵若直线x?m与x?n分别与f(x)的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线

3(a2?1)x?(a2?1)y?1?0平分，求出b的最大值。

分析：对于⑴小题，由题设条件易得am?bm?c?m和an?bn?c?n，由方程根的意义可构造一个根为m,n的一元二次方程，再借助韦达定理发现m与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出f(t)与m的大小；第⑵小题可先建立b与a的函数关系式，再运用均值不等式可求得b的最大值。 解析：⑴由题意f(m)?m,f(n)?n,

22???am?bm?c?m?am?(b?1)m?c?0??2??2 ???an?bn?c?n?an?(b?1)n?c?022?m,n是方程ax2?(b?1)x?c?0的两根,当a?1时,m?n?1?b,而n?m?1

bb??b?2m,?m??.?f(x)?x2?bx?c的图像的对称轴为x??，

22bt?m???f(t)?f(m)?m.

2⑵?M(m,m),N(n,n),

?MN的中点P为(m?nm?n1?b1?b1?b,)。由m?n?,?MN的中点P为(,)，代22a2a2aa2a2?2?1?12a?2a?1(a?0)?15?1? 2?24入直线方程，得b?当且仅当a?1时,bmax?5。 4点评：若没有方程的思想意识，则不能从f(m)?m,f(n)?n,中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出m?n?1?b,这样有用的关系式，使解答陷a入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。

三． 函数与方程相互转化的思想

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。

例10.已知抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1(m?R)

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⑴当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

⑵若关于x的方程(m?1)x?(m?2)x?1?0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求

2m的取值范围；

⑶如果抛物线与x轴相交于A,B两点，与y轴交于C点，且?ABC的面积等于2，试确定m的值。

分析：⑴令函数y?0，则转化为求方程有两个不等的实根时m的值； ⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；

⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。

解析：⑴令y?0,则(m?1)x?(m?2)x?1?0,据题意，须m?1,且??0， 即(m?2)?4(m?1)?0,?m?0,?m?1且m?0。 ⑵在m?0,1的条件下，x1?x2?22211m?21?m?2, ,x1x2,得?x1x21?m1?m?1x12?1x22?(m?2)2?2(m?1)?2,得m2?2m?0,?0?m?2.

所以m的取值范围是?m|0?m?1或1?m?2?

⑶由

11m44x1?x2?yc?2,得???1?2得m?4m?1,解得m?或。 22m?1352点评：y?ax?bx?c型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。

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