高中数学必修2圆与方程典型例题

第二节：圆与圆的方程典型例题

一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 二、圆的方程 （1）标准方程?x?a???y?b??r，圆心222222?a,b?，半径为r；

点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系：

22当(x0?a)?(y0?b)>r2，点在圆外 22当(x0?a)?(y0?b)=r2，点在圆上 22当(x0?a)?(y0?b)

（2）一般方程x?y?Dx?Ey?F?0 1DE?，半径为当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?r?D2?E2?4F ??,???22?22222?E2?4F?0时，表示一个点；

22当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。

当D

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例1 已知方程x2?y2?2(m?1)x?2(2m?3)y?5m2?10m?6?0.

（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；

（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y=2x+5上，半径为2. 练习：

1．方程x?y?2x?4y?6?0表示的图形是（ ）

Ａ．以(1，?2)为圆心，11为半径的圆 Ｂ．以(1，2)为圆心，11为半径的圆 Ｃ．以(?12)为圆心，11为半径的圆 ，?2)为圆心，11为半径的圆 Ｄ．以(?1，2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )． A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

222，在圆(x?a)?(y?a)?4的内部，则a的取值范围是（ ） 3．点(11)Ａ．?1?a?1

2222

Ｂ．0?a?1 Ｃ．a??1或a?1 Ｄ．a??1

4．若x?y?(??1)x?2?y???0表示圆，则?的取值范围是 5．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为 . 6．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．

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8．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．

9．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程． 10．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程． 三、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

d?Aa?Bb?CA?B22，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交 （2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 例２ 已知圆M:x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点 (1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；

(答：切线QA、QB的方程分别为3x?4y?3?0和x?1)

(2)求四边形QAMB的面积的最小值； （答?SMAQB?MA?QA?QA?MQ2?MA2?MQ2?1?MO2?1?3） (3)若AB?42，求直线MQ的方程. 3（答：直线MQ的方程为2x?5y?25?0或2x?5y?25?0 ）

练习：

1．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )． A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )． A．0或2

B．2

2

2 C．2 D．无解

３.直线l过点，l与圆x?y?2x有两个交点时，斜率k的取值范围是( ) （?2，0）（?22，22）（?2，2）（?A B C

2211，） D （?，）4488４．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是 ． ５． 圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是 。

６． P为圆x?y?1上的动点，则点P到直线3x?4y?10?0的距离的最小值为_______

22７．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ． ８．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ． ９．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

12．（本小题15分）已知圆C：?x?1??y?9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两

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点．

(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；

(2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； (3) 当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长．

13（本小题15分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

22设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2???y?b2??R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条； 当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含； 当d?0时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

例4 已知圆C:(x?2)?y?4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0). （Ⅰ）若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、l2的方程；

（Ⅱ）当a?2时，若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程； （Ⅲ）当a??1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值.

答案：（１）l1、l2的方程分别为l1:y?x?22?2与l2:y??x?22?2或l1:y?x?22?2与l2:y??x?22?2

22（２）圆M的方程为(x?1)?(y?7)?4

22（３）即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为214

1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )． A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．

A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 3．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )． A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值 ． 6． 两圆x?y?9和x?y?8x?6y?9?0的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切

2222227． 圆：x?y?4x?6y?0和圆：x?y?6x?0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是 228．两圆x?y?1和(x?4)?(y?a)?25相切，则实数a的值为

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五、求圆的轨迹方程

1、

点P(x0,y0)是圆x2?y2?4上的动点，点M为OP（O为原点）中点，求动

点M的轨迹方程。 2、

已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P满足｜PA｜=2｜PB｜，则点P轨

迹方程所包围的图形面积等于 3、

等腰三角形ABC底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C的

轨迹方程。 4、

已知BC是圆x2?y2?25的动弦，且｜BC｜＝６，求BC中点轨迹方程。

25、 已知点M与两个定点O（0，0），A(3，0)的距离的比为1，求点M的轨

迹方程。

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