2020年湖北省中考二轮复习专题汇编：《二次函数的综合》

∴x2+x﹣3＝3， 解得x＝∴P2（

或x＝，3）或P3（

，

，3）

，3）或P3

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（（

，3）．

5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B，直线AB的解析式为y＝﹣x+3． （1）求抛物线解析式；

（2）P为线段OA上一点（不与O、A重合），过P作PQ⊥x轴交抛物线于Q，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，连接QN并延长交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．

解：（1）∵直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∴A（3，0），B（0，3），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A点，B点， ∴

，解得

，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1中，过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM，于H．

∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠PAN＝45°， ∵∠NMP＝90°， ∴∠PAN＝∠NMP，

∴N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上， ∴MN＝MP，

∵∠NHM＝∠PGM＝∠NMP＝90°，

∴∠NMH+∠PMG＝90°，∠PMG+∠MPG＝90°， ∴∠NMH＝∠MPG， ∴△NMH≌△MPG， ∴NH＝MG，HM＝PG， ∵P（t，0），

∴Q（t，﹣t2+2t+3），M（∴PG＝MH＝∴Ny＝

﹣t＝，

，

+

），

＝

，

，HG＝

∵点N在直线AB上， ∴Ny＝﹣Nx+3，

∴Nx＝3﹣

（3）如图2中，

＝（0＜t＜3）．

∵MN∥AE，QM＝MA， ∴EN＝QN， ∴

＝，

∴t2﹣2t＝0，

解得t＝2或0（舍弃）， ∴t＝2时，MN∥AE．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣

+bx+c的图象经过点A（1，0），

且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y＝﹣

+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限． （1）求二次函数y＝﹣

+bx+c的表达式；

（2）连接AB，求AB的长；

（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

解：（1）当x＝0时，y＝c，即（0，c）．

由当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等，得（5，c）． 将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得

，

解得．

故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2； （2）联立抛物线与直线，得

，

解得，，

即B（2，1），C（5，﹣2）． 由勾股定理，得

AB＝

（3）如图：

＝；

，