整式的除法教案(1)

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课程解读：整式的除法、分式的基本性质和运算知识网络

整式除法 同底数幂除法 实际问题 类比分数性质 通分 分式基本性质 约分 列式 分式 分式的乘除 类比分数计算 单项式除以单项式 一、 重点难点

分式运算 分式的加减 探索和理解分式的加、减、乘、除运算法则，这是全章的一个重点内容，同时也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习正确掌握分式的基本性质和各种运算法则及运算顺序。

三、主要学习目标

1．通过与同底数幂的乘法性质的联系，学习同底数幂的除法性质；会进行简单的整式的除法运算。

2．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。

3．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 4．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 四、知识精要

知识点1：同底数幂的除法

法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

mnm?n一般地设m,n是正整数，m?n，a?0，a?a?a

[说明]①运用法则的前提是底数相同；

②底数a可以是数、字母、也可以是单项式或多项式。

[相关链接]同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

a?a?amnm?n（m,n是正整数）

23[思维误区]a?a?a

分析：错误原因是没有正确理解同底数幂的除法法则，应注意同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除。正确答案为a知识点2：单项式除以单项式

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法则：两个单项式相除，把系数，同底数幂分别相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

[说明] 单项式除以单项式，要把握三个要点：①系数相除，特别注意系数包括前面的符号；②同底数幂相除③被除式中单独出现的字母连同它的指数作为商的一个因式。 [思维误区]a?b?1b?a?1?a

分析：错误原因是没有掌握运算顺序，有括号先算括号里的，有乘方先算乘方，同级运算一定要先左后右。正确答案为

ab2

知识点3：多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式就是把多项式的每一个项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。即：(ma?mb?mc)?m?a?b?c

[说明]多项式除以单项式，要把握两个要点：①用多项式的每一个项分别去除以这个单项式，也就是单项式相除；②单项式相除的商相加，作为结果的商。其实质就是把多项式除以单项式转化为单项式相除。

[注意]①多项式除以单项式所得的商的项数与这个多项式的项数相同；

②多项式的每一个项除以单项式时，商中的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符号共同确定。

[相关链接]单项式与多项式的有关概念。 知识点4：分式的概念 形如

AB（A、B是整式，且B中含有字母，B?0）的式子叫做分式。其中A叫做分式的

分子，B叫做分式的分母。

[说明]理解分式的要点：①分式是两个整式相除的商式；②分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母一定要含有字母。

1、 分式有意义的条件：分母不等于零，即B?0时，分式

AB有意义；

AB2、 分式值为零的条件：分子等于零而分母不等于零，即当A?0且B?0时，分式=0；

3、 整式与分式的区别：分式的分母中含有字母，而整式可以有分母，但分母中不能含有字母。

知识点5：有理式

整式和分式统称为有理式。即有理式

?整式分式

[注意] 有理式包括整式和分式，对于一个有理式不是整式就是分式；但反过来，有理式不一定是整式，也不一定是分式。

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知识点6：分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 用字母表示：

AB?A?MB?M,AB?A?MB?M.（其中M为不等于零的整式）

[注意]①利用分式的基本性质时，要注意“同一个”的含义，防止犯只乘以（或除以）分子或只乘以（或除以）分母的错误，或犯

11a?a11bb?a?b，即分子、分母乘以（或除以）的不是

同一个整式的错误。

②分式的分子、分母同乘以或同除以的这个整式，必须不为零。如ab?abb2中的b无需强调

不为零，因为a中已隐藏了b?0；但abb?a2中就一定要强调a?0。

ab知识点7：约分与通分

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分；把几个异分母分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫分式的通分。 [说明]①不管约分还是通分，变化前后分式的值不变；

②通分的关键是确定最简公分母，确定最简公分母的前提是分母是积的形式，当分母是多项式时，一般应先分解因式，然后取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，这样得到的因式的积就是最简公分母。

③约分的前提条件是分子、分母都是乘积形式。

④约分后，分子与分母不再有公因式的分式称为最简分式。分式运算的结果一定要最简。 ⑤通分和约分的理论依据都是分式的基本性质。

[注意]①分式的通分、约分和分数的通分、约分的涵义有类似的地方，最简分式和最简公分母与最简分数和最小公倍数类似；

②最简分式是对一个独立的分式而言，它只能有一个分数线，如五、通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程。人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程。

分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数表示具体的数值，或者说每个分数表示两个特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义，例如

1a3?x2x?y就不是最简分式。

表示的是

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一般的倒数，

xy表示的是任意两个数的除法（y?0）。根据这种关系，分式的基本性质、

约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。

此外，需要强调，本阶段的主要内容：分式的基本概念、基本性质、基本运算等，这

些都是学习后阶段的分式方程和今后进一步学习数学时必须具备的基础知识。

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