3.1变化率与导数

3.1变化率与导数

————高二数学组

学习目标 1、知道平均变化率的定义；

2、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。 3. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 重点难点：

1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用 学习过程 一、变化率问题

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水，求平均速度.

f(x2)?f(x1)?f?新知：平均变化率：

x2?x1?x

试试：设y?f(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点x2，x1与x2的差记为?x，即

?x= 或者x2= ，?x就表示从x1到x2的变化量或

增量，相应地，函数的变化量或增量记为?y，即?y= ；如果

?y它们的比值，则上式就表示为 ，此比值就称为平均

?x变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.

二、导数的概念 探究：瞬时速度

问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：

1、瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究：导数

?s当?t趋近于0时的 ?t2、导数的定义：函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是

问题2： 瞬时速度是平均速度

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f，我们称它为函数y?f(x)在x?x0处的?lim?x?0?x?x?x?0导数，记作f?(x0)或y?|x?x0即f?(x0)?limf(x??x)?f(x0)

?x注意：(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，?x趋近于0可正、可负、但不为0，而?y可以为0 ?y是函数y?f(x)对自变量x在?x范围内的平均变化率，它?x的几何意义是过 曲线y?f(x)上点（x0,f(x0)）及点

(3)

(x0??x,f(x0??x)）的割线斜率 f(x0??x)?f(x0)/(4)导数f(x0)?lim是函数y?f(x)在点x0?x?0?x的处瞬时变化率，它反映的函数y?f(x)在点x0处变化的快慢程度.

典型例题

2例1 已知函数f(x)?x，计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：c）为

f(x)?x2?7x?15(0?x?8). 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.

2

例2 已知质点M按规律s=2t+3做直线运动(位移单位：cm时间单位：s)，

0?s. ?t?s(2)当t=2，Δt=0.001时，求.

?t(1)当t=2，Δt=0.01时，求

(3)求质点M在t=2时的瞬时速度

小结：利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)； 第二步：求平均变化率

?yf(x0??x)； ??x?x?y.

?x?0?x第三步：取极限得导数f?(x0)?lim当堂检测

1. 一直线运动的物体，从时间t到t??t时，物体的位移为?s，那么?s为（ ） lim?t?0?tＡ．从时间t到t??t时，物体的平均速度； Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；

Ｃ．当时间为?t时物体的速度； Ｄ．从时间t到t??t时物体的平均速度 2. y?x2在 x=1处的导数为（ ） A．2x B．2 C．2??x D．1

3. 在f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)中，?x不可能（ ）

?xA．大于0 B．小于0

C．等于0 D．大于0或小于0

4.如果质点A按规律s?3t2运动，则在t?3时的瞬时速度为 1f[x0?k]?f(x0)25. 若f?(x0)??2，则lim等于

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