轨迹方程的求法与典型例题（含答案解析）

轨迹方程的求法

一、知识复习

轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）

交轨法；（6）相关点法

注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习

例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，求圆心M的轨迹方程。

P，且过点

例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠

APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|=

(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=x?4,y1?2y?0, 2代入方程x2+y2－4x－10=0,得

(x?42yx?4－10=0 )?()2?4?222整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图, 直线L1和L2相交于点M, L1?L2, 点N ?L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若?AMN为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, |BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为y2?2px(p?0),(xA?x?xB,y?0)，

其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。

所以M(?p2,0),N(p2,0)由|AM|?17,|AN|?3得(xpA?2)2?2pxA?17(1)(xp2A?2)?2pxA?9(2) x4?p?4?p?由①，②两式联立解得

A?p?。再将其代入①式并由p>0解得?xA?1或?2?xA?2

且

?p?2p??xAx?2因为△AMN是锐角三角形，所以2，故舍去?A

∴p=4,xA=1

xB?|BN|?p?42。

由点B在曲线段C上，得

2y综上得曲线段C的方程为?8x(1?x?4,y?0)

解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为 轴，M为坐标原点。

作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F 设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0) 依题意有

xA?|ME|?DA|?|AN|?3yA?|DM|?|AM|2?|DA|2?22由于?AMN为锐角三角形故有xN?|ME|?|EN|?|ME|?|AM|2?|AE|2?4xB?|BE|?|NB|?6设点P(x,y)是曲线段C上任一点则由题意知P属于集合{(x,y)|(x?xN)2?y2?x2,xA?x?xB,y?0}故曲线段C的方程y2?8(x?2)(3?x?6,y?0)