必修3同步练习题3.2.3互斥事件（含答案）

3.2.3互斥事件

一、选择题

1．如果事件A与B是互斥事件，则( )

A．A＋B是必然事件 B.－A与－B一定互斥 C.－A与－B一定不互斥 D.－A＋－B是必然事件 [答案] D

[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，“上面出现点数1”与“上面出现点数2”分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A＋B不是必然事件，－A与－B也不互斥，∴A、B选项错误，－A＋－B是必然事件，还可举例验证C不正确．

2．从1,2,3，?，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A．① [答案] C

[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有3个事件：“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件．

3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为( )

A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 [答案] D

[解析] 设“抽得正品”为事件A，则P(A)＝1－0.03－0.01＝0.96. 4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则－A为( )

A．“至多2件次品” B．“至多2件正品” C．“至少2件正品” D．“至多1件次品” [答案] D

[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生．

5．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( ) A．0.2 B．0.3 C．0.7 [答案] B

[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，

D．0.8

B．②④ C．③

D．①③

则事件M、N、Q两两互斥，且M＋N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm的概率为P(Q)＝1－P(M＋N)＝1－P(M)－P(N)＝1－0.2－0.5＝0.3.

6．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )

A．0.2 B．0.4 C．0.6 [答案] C

[解析] 由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8， P(A)＝3P(B)，

解①②组成的方程组知P(A)＝0.6. 二、填空题

7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________． [答案] 0.9

2349

[解析] P＝10＋10＋10＝10＝0.9.

8．掷一粒骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋－B发生的概率为________． 2[答案] 3

[解析] －B表示“大于或等于5的点数出现”． ∵A与－B互斥，

222∴P(A＋－B)＝P(A)＋P(－B)＝6＋6＝3. 三、解答题

9．一个箱子内有9张票，其号数分别为1、2、?、9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？

1

[分析] 从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为2×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．

[解析] 从9张票中任取2张，有 (1,2)，(1,3)，?，(1,9)； (2,3)，(2,4)，?，(2,9)； (3,4)，(3,5)，?，(3,9)； ?

① ②

D．0.8

(7,8)，(7,9)；

(8,9)，共计36种取法．

记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．

61

∴P(C)＝36＝6，由对立事件的性质得 15

P(B)＝1－P(C)＝1－6＝6.

一、选择题

1．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是( ) 1254A.33 B．33 C.33 [答案] D

[解析] 基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故

2．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是( )

A．①② B．②③ C．③④ [答案] D

[解析] 从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件． 二、填空题

4

3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为9，则至少有一个5点或6点的概率是________．

5

[答案] 9

4

[解析] 记“没有5点或6点”的事件为A，则P(A)＝9，“至少有一个5点或6点”的事件为45

B.由已知A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－9＝9. D．③

17D．33 4．一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”．写出一个事件A、B、C的概率P(A)、P(B)、P(C)之间的正确关系式__________．

[答案] P(A)＋P(B)＋P(C)＝1

[解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(正，正，正)共8种，事件A＋B＋C刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1. 三、解答题

5．在某一时期，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：

年最高水位 概率 低于10m 0.1 10～12m 0.28 12～14m 0.38 14～16m 0.16 不低于16m 0.08 计算在同一时期内，河流该处的年最高水位在下列范围内的概率． (1)10～16m；(2)低于12m；(3)不低于14m.

[解析] 分别设年最高水位低于10m，在10～12m，在12～14m，在14～16m，不低于16m为事件A，B，C，D，E.因为这五个事件是彼此互斥的，所以

(1)年最高水位在10～16m的概率是：

P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)年最高水位低于12m的概率是： P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38. (3)年最高水位不低于14m的概率是： P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.

6．某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件A为“射击一次中靶”，求：

(1)A的概率是多少？

(2)若事件B(环数大于5)的概率是0.75，那么事件C(环数小于6)的概率是多少？事件D(环数大于0且小于6)的概率是多少？

[解析] (1)P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05. (2)由题意知，事件B即为“环数为6,7,8,9,10环” 而事件C为“环数为0,1,2,3,4,5环”， 事件D为“环数为1,2,3,4,5环”． 可见B与C是对立事件，而C＝D＋A. 因此P(C)＝P(B)＝1－P(B)＝1－0.75＝0.25. 又P(C)＝P(D)＋P(A)，

所以P(D)＝P(C)－P(A)＝0.25－0.05＝0.20.

7．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外

完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率． [解析] (1)由题意，(a，b，c)所有的可能为

(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)， (2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，

(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种． 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 31

所以P(A)＝27＝9. 1

因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为9. (2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B， 则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种． 所以P(B)＝1－P(B)＝1－

38＝. 279

8

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为9.