初中数学竞赛 - 公共根与整数根

初一数学联赛班

第12讲 公共根和整数根

实验一

典型例题

一. 公共根

【例1】 是否存在某个实数m，使得方程x2?mx?2?0和x2?2x?m?0有且只有一个公共的根？如

果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．

【例2】 若方程x2?bx?1?0与方程x2?x?b?0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．

【例3】 若两个方程a2x2?ax?1?0和x2?ax?a2?0有公共根，求a的值．

思维的发掘 能力的飞跃

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实验一

【例4】 已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2?(a?b)x?ab?0与x2?abx?(a?b)?0有没有

公共根，请说明理由．

【例5】 设关于x的方程(a?1)x2?(a2?2)x?(a2?2a)?0，（其中a、(b?1)x2?(b2?2)x?(b2?2b)?0ab?bab均为正整数，且a?b）有一个公共根，求?b的值．

a?b?a

【例6】 已知a1、a2、a3均是不为0的实数，且方程x2?a1x?a2a3?0与方程x2?a2x?a1a3?0有且只

有一个公共根．求证：这两个方程的另两根（除公共根外）是方程x2?a3x?a1a2?0的根．

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二. 整数根

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实验一

【例7】 若关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数k的值

有多少个？

【例8】 若k为正整数，且关于k的方程(k2?1)x2?6(3k?1)x?72?0有两个相异正整数根，求k的值．

【例9】 已知一元二次方程x2?(m?17)x?m?2?0的两个根都是正整数，求整数m的值．

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实验一

【例10】 求所有正实数a，使得方程x2?ax?4a?0仅有整数根．

【例11】 设方程mx2?(m?2)x?(m?3)?0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数

解．

【例12】 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2?(m?1)x?1?0有有理根，求m的值．

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