哈工大集合论习题

14.设?是任一n次置换，试证：?与?

?1的奇偶性相同。

第三章 习 题

1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？ 2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？ 3.设R，S是X上的二元关系，下列命题哪些成立： a)若R与S是自反的，则R?S,R?S分别也是自反的。 b) 若R与S是对称的，则R?S,R?S分别对称的 c) 若R与S是传递的，则R?S也是传递的 d) 若R与S不是自反的，则R?S也不是自反的 e) 若R与S是反自反的，则R?S,R?S也是反自反的 f) 若R是自反的，则R也是反自反的。 g) 若R与S是传递的，则R\\S是传递的 答案：真真真假真真假

4.设R、S是X上的二元关系。证明：

?1?1?1?1?1(R?S)?R?S(R)?R（1）；（2）

?1?1?1?1?1(R?S)?R?S（3）；（4）若R?S，则R?S

c

5.设R是X上的二元关系，证明：R?R是对称的二元关系。

6.有人说：“若R是X上的二元关系，只要R是对称的和传递的，则R必是自反的。”他的证明如下：若xRy，则由R的对称性便知有yRx。于是由xRy和yRx以及R的传递性即得xRx。所以，R是自反的。他的推论错在什么地方？这个结论是否对呢？

7.“父子“关系的平方是什么关系？

8.设X={1,2,3,4},R={(1,2),(2,2),(3,4)},S={(2,3),(3,1),(4,2)}

22R?S,S?R,R,S,R?(S?R),(R?S)?R。 试求：

?19.设R与S为X上的任两个集合，下列命题哪些为真？ a）若R,S都是自反的，则R?S也是自反的。 b）若R,S都是对称的，则R?S也是对称的。 c）若R,S都是反自反的，则R?S也是反自反的。 d）若R,S都是反对称的，则R?S也是反对称的。

e）若R,S都是传递的，则R?S也是传递的。

10.设R1是A到B，R2和R3是B到C的二元关系，则一般情况下

R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。但有人声称等号成立，他的证明如下：设(a,c)?R1?(R2\\R3)，则?b?X，使得(a,b)?R1且(b,c)?R2\\R3。于是(b,c)?R2且(b,c)?R3。从而(a,c)?R1?R2且(b,c)?R1?R3，所以(a,c)?(R1?R2)\\(R1?R3)，即R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3。同理可证相反的包含关系成立，故等式成立，这个证)明错在什么地方？

11.设R，S是X上的满足R?S?S?R的对称关系，证明R?S?S?R. 12.设R为X上的对称关系，证明：?n?N,R是对称关系。

13.设R1,R2,R3,?是X上的二元关系的一个无穷序列，则当每个Ri是对称关系时，

?n?Rii?1还是对称的吗？

14.设R是X上的二元关系，试证（1）

(R?)??R?,(2)(R*)*?R*,(3)R?R*?R*?R?R?,(4)(R?)*?(R*)??R?。

15.设X＝（a,b,c,d,e），R＝｛（a,b），（b,c），（c,d），（d,e）｝试求R和R。 16.设R,S为X上的二元关系，试证：（1）(R?S)?R?S （2）(R?S)?R?S

17.举例说明s(t(R))与t(s(R))确定不相等。

18.是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系的反对称闭包？为什么？ 19.是否存在X（X=n）上的一个二元关系R使得R,R,?,R两两不相等。

＋

20.证明：若R是对称的，则R也是对称的。 21.设R1,R2是X上的二元关系，证明： （1）r(R1?R2)?r(R1)?r(R2) （2）S(R1?R2)?s(R1)?s(R2) （3）t(R1?R2)?t(R1)?t(R2)

2n????????

?1234567?8????3658127?,8}??4确定了X?{1,2,22.由置换上的一个关系

?:i,j?X,i?j当且仅当i与j在?的循环分解式中的同一循环置换中，证明：?是X上

的等价关系，求X/?。

23.给出X＝｛1，2，3，4｝上两个等价关系R与S，使得R?S不是等价关系。 24.设X是一个集合，X?n，试求： （1）X上自反二元关系的个数； （2）X上反自反二元关系的个数； （3）X上对称二元关系的个数； （4）X上自反或对称关系的个数；

25.设〔a,b〕是一个有限区间。令S是区间〔a,b〕上的有限划分（注意，这里的划分与等价关系中的划分不同）的集合。〔a,b〕的一个划分?是形如a?x1?x2???xn?b,n?N的点的集合。在S上定义二元关系R如下：??1,?2?S,?1R?2??2的每个分点也是?1的分点。证明：R是S上的偏序关系。

26.是否存在一个偏序关系≤，使（X，≤）中有唯一极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体例子；若没有，请证明之。

27.令S＝｛1，2，…，12｝，画出偏序集（S,|）的Hass图，其中“|”是整除关系，它有几个极大（小）元素？列出这些极大（小）元素