哈工大集合论习题

第一章 习题

1.写出方程x?2x?1?0的根所构成的集合。 2.下列命题中哪些是真的，哪些为假

1?A2???An?A1，试证： 3设有n个集合A1,A2,?,An且A2S4.设S?{?,{?}}，试求2？

SA1?A2???An

n5.设S恰有n个元素，证明2有2个元素。 6.设A、B是集合，证明:

(A\\B)?B?(A?B)\\B?B??

7.设A、B是集合，试证A???B?A?B

8. 设A、B、C是集合，证明：

(A?B)?C?A?(B?C)

9.设A、B、C为集合，证明A\\(B?C)?(A\\B)\\C

10.设A，B，C为集合，证明： 11.设A,B,C为集合，证明：

(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C)

(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C)

12.设A,B,C都是集合，若A?B?A?C且A?B?B?C，试证B=C。

13.设A,B,C为集合，试证：

(A\\B)\\C?(A\\B)\\(C\\B)

14.设X?Y?Z，证明Z\\(Y\\X)?X?(Z\\Y)

15.下列命题是否成立？ （1）(A\\B)?C?A\\(B\\C) （2）A?(B\\C)?(A?B)\\C （3）A\\(B?C)?(A?B)\\B 16．下列命题哪个为真？

a)对任何集合A,B,C，若A?B?B?C，则A=C。 b)设A,B,C为任何集合，若A?B?A?C，则B=C。 c)对任何集合A,B，2e)对任何集合A,B，2A?B?2A?2B。

d)对任何集合A,B，2A?B?2A?2B。

?2A\\2B。

ABA\\B?2?2。 f)对任何集合A,B，217．设R,S,T是任何三个集合，试证：

（1）S?T?(S?T)?(S?T)； （2）R?(S?T)?(R?S)?(R?T)；

（3）(R?S)?(R?T)?R?(S?T)?(R?S)?(R?T)； （4）R?(S?T)?(R?S)?(R?T)

18．设A为任一集，{B?}??I为任一集族（I??），证明：

A?BA?(?B?)??(A?B?)??I??I

19．填空：设A,B是两个集合。

(a)x?A?B?__________________； (b)x?A?B?__________________； (c)x?A\\B?___________________； (d)x?A?B?___________________；

20．设A，B，C为三个集合，下列集合表达式哪一个等于A\\(B?C)？ （a）(A\\B)?(A\\C)；（b）(A?B)\\(A?C) （c）(A\\B)?(A\\C)；（d）(A?B)\\(A?C) （e）(A?B)?(A?C)

21.．设A,B,C为集合，并且A?B?A?C，则下列断言哪个成立？ （1）B?C （2）A?B?A?C （3）A?B?A?C （4）A?B?A?C〕 22．设A,B,C为任意集合，化简

CCCC(A?B?C)?(AC?B?C)?(A?BC?C)?(A?B?CC)?(AC?BC?C)?(A?BC?CC)?(AC?B?CC)

CCCCCA?B?(A?B)?(A?B)(A?B)?(A?B)?(A?B)；23．证明：（1）；（2）

CCC （3）(A?B)?(A?B)?(A?B)

24．设M1,M2,?和N1,N2,?是集合S的子集的两个序列，对i?j,i,j?1,2,?，有

Ni?Nj??。令

Q1?M1,Qn?Mn?(?Mk)C,n?2,3,?k?1n?1。试证：

Nn?Qn??(Ni?Mi)i?1n。

25．设X是一个非空集合，An?X,An?1?An,n?1,2,3,?试证：?n，有

An??(Am?Am?n? cm?1)??Amm?n?。

6．设V是任一集合，证明：?S,T,W?2有S?T?W当且仅且S?T?S?W且

VS?W。

27．设A1,A2,?为一集序列，记A为这样的元素的全体形成的集合：x?A当且仅当在序列A1,A2,?中有无穷多项An含有x。集合A称为集序列A1,A2,?的上极限，记为

limAnn??，即n??limAn?A。又记A为这样的元素全体形成的集合；序列A1,A2,?中只有有限

limAn?AA,A,?A12项不含有这样的元素。称为序列的下极限，并记n??。证明；

（1）n??limAn???Akn?1k?n??；（2）n??

limAn???Akn?1k?n??。

28．证明：n??limAn?limAnn??limAn?limAnn??n??。

29．设A?{a,b,c},B?{e,f,g,h},C?{x,y,z}。求A?B,B?A,A?C,A?B。 30．设A,B为集合，试证：A×B＝B×A的充要条件是下列三个条件至少一个成立： （1）A??；（2）B??；（3）A?B。 31．设A,B,C,D为任四个集合，证明：

2(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D)

32．设E1,E2,E3,E4为任意集合，试证：

(E1?E2)\\(E3?E4)?((E1\\E3)?E2)?(E1?(E2\\E4))

33．设A?X,B?Y，试证：(A?B)?(A?B)?(A?B)?(A?B) 34．设A,B,C为集合，证明：

35．设A,B为集合，下列命题哪些为真？ （1）(x,y)?A?B?x?A且y?B （2）(x,y)?A?B?x?A或y?B

CCCCCA?(B?C)?(A?B)?(A?C)

?2A?2B

（4）若A?C?B?C，则A?B。

（5）若A?C?B?C,C??，则A?B。

（3）236．设A有m个元素，B有n个元素，则A×B是多少个序对组成的？A×B有多少个不同的子集？

37．设A,B为集合，B??，试证：若A×B＝B×B，则A=B。

38.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？

39．求1到250之间不能被2，3，5，7中任一数整除的数的个数。 40．设A,B是两个有限集，试求

41．马大哈写n封信，n个信封，把n封信放入到n个信封中，求全部装错的概率是多少？

42．毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。

A?B22A?B??第二章 习 题

1.设A，B是有穷集，A?m,B?n （1）计算

（2）从A到A有多少个双射？

2.设X是一个有穷集合，证明：从X到X的部分映射共有(X?1)个。

3..证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。

4.证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。

5.设f:X?Y，C,D?Y，证明f6. 设f:X?Y, A,B?X，证明 （1）f(A?B)?f(A)?f(B) （2）f(A?B)?f(A)?f(B) （3）f(A)\\f(B)?f(A\\B)

7.设f:X?Y,A?X,B?Y。以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。

（1）（a）若f(x)?f(A)，则x未必在A中 （b）若f(x)?f(A)，则x?A （c）若f(x)?f(A)，则x?A

c（d）若f(x)?f(A)，则x?A

AB

X?1(C\\D)?f?1(D)

（2）（a）f(f（c）f(f?1?1(B))?B （b）f(f?1(B))?B

(B))?B （d）f(f?1(B))?Bc

?1?1f(f(A))?Af(f(A))?A （3）（a） （b）?1f(f(A))?A （d）上面三个均不对 （c）

（4）（a）f(A)?? （b）f(B)??

?1y?Y,则f(y)?x （c）若

（d）若y?Y,则f?1(y)?x

cc8.设f:X?Y,A?X,则(f(A))?f(A)成立吗？

9.设X是一个无穷集合，f:X?Y。证明：存在X的一个真子集E使得f(E)?E。

B10.设f:A?B，证明?T?2，都有f(f?1(T))?T?f(A)

11..设X?{a,b,c},Y?{0,1},Z?{2,3},f:X?Y,f(a)?f(b)?0，

f(c)?1;g:Y??，g(0)?2,g(1)?3，试求g?f。

?12345??12345??1??，?＝2????1?14321532514????，求?1?2,?2?1,?1,?2。 12.设

?123456789???13.将置换?791652348?分解成对换的乘积。