2018年高考数学 第八章 立体几何 专题28 空间几何体的表面积和体积考场高招大全

平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A.90 B.63π

C.42π D.36π

【答案】 B 由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V= ×π×3×6+π×3×4=63π,故选B. 2.(2015课标Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛

B.22斛 C.36斛 D.66斛

2

2

3.(2013课标Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )

500πA. 3cm3 866πB. 3cm3 1372πC. 3 cm3 D.2048π 3cm3

考场高招3 解决几何体体积最值问题的方法 1.解读高招 方法 解 读 适合题型 (1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值; 基本不 等式法 根据条件建立两个变量的和或积为(2)求表面积一定的空间几何体的体定值,利用基本不等式求体积的最值 积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值 通过建立相关函数式,将所求的最值典例导引 函数法 问题转化为函数的最值问题求解,此组合体中的最值问题 3(1) 法应用最为广泛 典例导引 几何法 2.典例指引 3(1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积取最大值时,其高为( ) A.3

B.

C.2

D.2

由图形的特殊位置确定最值,如垂直 图形位置变化中的最值 3(2) 3(3) 典例导引 典例指引 (2)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=( )

,AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为

A. B.8π C. D.

(3)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在一个半径为R的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 .

(3)如图,截面图为长方形ACC1A1和其外接圆.球心为EE1的中点O, 则R=OA.设正四棱柱的侧棱长为b,底面边长为a,

则AC=2

a,AE=2

2

a,OE=,R2=,

即4R=2a+b,则正四棱柱的侧面积:S=4ab=2且仅当

a·b≤(2a+b)=4

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R2,故侧面积有最大值,为4R2,当

a=b时等号成立.

考点64 组合体的“接”“切”的综合问题

考场高招4 与球相关的“接”“切”问题的解决方法 1.解读高招

方法 截面法 解 读 解答时要找准切点,通过作截面来解决. 首先定球心位置,借助外接的性质——球心到多适合题型 球内切多面体或旋转体 典例指引 典例导 引4(1) 构造直 面体的顶点的距离等于球的半径,寻求球心到底角三角 形法 造直角三角形,然后利用勾股定理求半径 三条侧棱两两垂直的三因正方体、长方体的外接球半径易求得,故将一棱锥,从正方体或长方体典例导 补形法 些特殊的几何体补形为正方体或长方体,便可借的八个顶点中选取点作引4(3) 助外接球为同一个的特点求解 为顶点组成的三棱锥、四棱锥等 2.典例指引 4(1)若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为 . (2)若正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为 .

(3)(2017四川自贡普高一诊)已知一个多面体的三视图如图所示:其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形,俯视图是边长为1的正方形,若该多面体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .

典例导 正棱锥、正棱柱的外接球 面中心的距离、半径和顶点到底面中心的距离构引4(2)