2019年全国各地中考数学试题分类汇编（第二期） 专题30 圆的有关性质（含解析）

∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°， ∴∠F＝∠DBC， ∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，

∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADB＝∠AOB＝30°； （2）∵OA⊥BC， ∴BE＝CE＝BC＝4， ∴AB＝AC，

∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°， ∴OE＝OB，BE＝∴OE＝

，

． OE＝4，

∴AC＝AB＝OB＝2OE＝

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．

6. （2019?广东省广州市?12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC． （1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求． （2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝∵BC＝CD， ∴

＝

，

＝

＝6，

∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE，

∵BE＝BC﹣EC＝OB﹣OE， ∴6﹣（5﹣x）＝5﹣x， 解得x＝，

∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝

，

＝

．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是

学会利用参数，构建方程解决问题．

7. （2019?贵州省安顺市?12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为CE的中点； （3）若BC＝10，cosC＝

，求AE的长．

【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下： 连结OD、AD，如图， ∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 而AO＝BO，

∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴OD⊥DH， ∴DH为⊙O的切线； （2）证明：连结DE，如图， ∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴∠DEC＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH＝EH，即H为CE的中点；

（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5， ∵cosC＝∴AC＝5

＝，

＝

，

，

在Rt△CDH中，∵cosC＝∴CH＝

，

，

﹣2

∴CE＝2CH＝2

∴AE＝AC﹣CE＝5＝3．

8. （2019?广西北部湾经济区）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．

（1）求证：∠BAD=∠CBD；

（2）若∠AEB=125°，求

的长（结果保留π）．

【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD； （2）解：连接OD， ∵∠AEB=125°， ∴∠AEC=55°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACE=90°， ∴∠CAE=35°，

∴∠DAB=∠CAE=35°， ∴∠BOD=2∠BAD=70°， ∴

的长=

=π．