2020-2021学年湖南省高考数学一模试卷(文科)及答案解析

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A． B．3π C．6π D．24π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积． 【解答】解：根据三视图知几何体是：

三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，直观图如图所示： 且长方体的长、宽、高分别是1、1、2， ∴三棱锥P﹣ABC的外接球与长方体的相同， 设该几何体外接球的半径是R， 由长方体的性质可得，2R=解得R=

，

2

=，

∴该几何体外接球的表面积S=4πR=6π， 故选：C．

12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x，则不等式A．（e，+∞） B．（0，e） C．【考点】其他不等式的解法．

【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式

，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对

数函数的单调性，即可得到解集．

【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x的导数为： f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx）， 则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，

且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）=f（x）， 则为偶函数，即有f（x）=f（|x|）， 则不等式

即为f|lnx|）＜f（1），

则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e． 故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

，即为f（lnx）＜f（1）

22

2

的解集为（ ）

D．

13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2，则f=f（2），代值计算可得．

【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0， ∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数， 又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2， ∴f=2=4， 故答案为：4．

14．在等比数列{an}中，【考点】等比数列的通项公式． 【分析】等比数列{an}的公比为q，由于=8，解得q，即可得出．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵∴q（a1+a2）=

2

4

2

2

x

x

，则a3+a4= 2 ．

，可得q（a1+a2）=

4

，

=8，解得q=4．

=2．

2

则a3+a4=q（a1+a2）=故答案为：2．

15．已知圆C的方程为x+y+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为 【考点】圆的一般方程．

【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围． 【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）+y=1， ∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，

2

2

22

．

∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=解得：故答案为：

16．为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为 20 米．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】作出示意图，用AB表示出BC，BD，在△BCD中使用余弦定理列方程解出AB． 【解答】解：由题意知CD=20，∠BCD=120°，∠ACB=45°，∠ADB=30°．AB⊥BC，AB⊥BD． 设AB=h，则BC=h，BD=

．

2

2

2

，

≤k≤0．

．

在△BCD中，由余弦定理得BD=BC+CD﹣2BC?CDcos∠BCD， 即3h=h+400+20h，解得h=20． 故答案为：20．

2

2

三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数

（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；

，且f（x）的最小正周期为π．