四升五年级奥数教案

第十一讲 逻辑推理

·知识引领·

有些数学竞赛题，给出的许多条件之间往往纵横交错，层次众多，我们不能凭空想象，而是要学会有根有据地想问题，这就需要我们有良好的逻辑思维能力和逻辑推理能力．数学和逻辑推理之间有密切的关系，要通过逻辑推理的练习训练思维的逻辑性、严密性和灵活性，提高智力水平．

·经典题例·

例1 如图，前两个天平平衡，要使第三个天平也平衡，左端要放几张梅花？

？解析 我们先估计一下．放4张梅花显然不够（第三个天平右边的黑桃、方块均多于第一个天平）．放8张梅花又太多了：将前两个天平的梅花合并，一共8张，相当于将方块、黑桃也合并，即5张黑桃、6张方块合在一起，才等于8张梅花，合并后，与第三个天平相比，黑桃多出5－3＝2（张），方块多出6－5＝1（张）．

从第二个天平看出，2张黑桃、1张方块合起来，正好是2张梅花（左、右各取一半）．于是从8张梅花中去掉2张，即在第三个天平的左边放6张梅花，两边正好平衡．

例2 1000个人中至少有1个人说假话，而这1000人中的任意两个人，总有1个人不说假话，这1000人中不说假话的有多少人？有多少人说假话？

解析 要保证1000人中的任意两个人中，总有1人不说假话，可以理解为以下两种情况：任意两个人中1人说假话，1人不说假话或者任意两个人中两人都不说假话，所以不能有两人说假话．

这1000人中，不说假话的有999人，说假话的只有1人．

例3 丁丁、光光和园园三位小朋友分别出生在成都、重庆、达州．已知： （1）丁丁从未到过成都；

（2）成都出生的小朋友不叫光光； （3）光光不出生在达州． 问：三个小朋友各出生在哪里？

解析 这是一道简单的逻辑推理题．我们从题中给出的已知条件入手进行分析．条件（2）和（3）都是关于小朋友光光的，从中可以看出光光既不出生在成都也不出生在达州，所以光光出生在重庆．再由条件（1）“丁丁从未到过成都”得出丁丁不出生在成都，所以丁丁出生在达州．那么，只能是园园出生在成都了．

例4 甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课．已知： （1）每位老师只教一门课； （2）甲上课全用汉语；

（3）英语老师是一个学生的哥哥；

（4）丙是一位女老师，她比数学老师活泼．

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问：三位老师各上什么课？

解析 题目中给出了四个条件，从哪里着手进行分析是解决问题的关键．一般来讲，较为复杂的条件给出的信息较多，以此作为解决问题的突破口是比较好的选择．

题目中条件（4）“丙是一位女老师，她比数学老师活泼”可以得出丙不教数学，而且是位女老师． 而条件（3）“英语老师是一个学生的哥哥”可以得出，教英语的是位男老师，所以丙也不教语文． 条件（2）“甲上课全用汉语”可以得出甲不教英语，因为“每位老师只教一门课”，所以甲只能是教数学．由此可以推出乙教英语．

例5 一只乒乓球装在A、B、C三个盒子里，盒盖上分别标有一句话：A盒：乒乓球在此盒；B盒：乒乓球不在此盒；C盒：乒乓球不在A盒．这三张标签中，只有一张是正确的，问乒乓球在哪个盒子里？

解析 上面三张标签中，A盒上的标签与C盒上的标签互相矛盾，不可能全正确，也不可能全错误，而必须是一个正确一个错误．

由于三张标签中只有一张是正确的，而A、C盒中有一盒是正确的，那么可判断B盒一定是错误的，所以球一定在B盒中．

这题也可以用枚举法分析解答，把题目分为球在A盒中，球在B盒中或球在C盒中三种不同情况进行列表分析：

标签内容 球在A盒 球在B盒 球在C盒 A盒：乒乓球在此盒 √ × × B盒：乒乓球不在此盒 √ × √ C盒：乒乓球不在A盒 × √ √

观察“球在A盒”这一列有两个“√”，表示有两张标签正确；同样“球在C盒”这一列有两个“√”，也表示有两张标签正确；只有“球在B盒”这一列只有一个“√”，说明只有一张标签正确，与题目中条件吻合．

例6 4支球队，每两队比赛1场．每场胜队得3分，负队得0分，平各得1分．已知赛完各队的得分分别为2、3、4、5．问第4名负于哪个队？

解析 第1名得分最高（得5分），似乎第4名应当负于第1名．但仔细分析，结论却并非如此．每个队赛了3场，所以得5分的队，3场的分数是3，1，1（否则，和不会是5）；得4分的队，3场的分数是3，1，0；得2分的队，3场的分数是1，1，0．得3分的队，则有两种可能：3，0，0或者1，1，1．需要研究一下：这两种可能都存在呢？还是只有一种可能，是哪一种可能？

由于每个平局产生两个1，所以在上面各队各场的分数中，1的总个数是偶数．因此，得3分的队，3场的分数只能是1，1，1．

得4分的队胜了1场（有1个3分）．它胜在哪个队呢？只能胜得2分的队．因为只有两个队输过，即得4分的队与得2分的队．得4分的队当然不能胜自己，只能胜得2分的队．换句话说，第4名负于第2名．

·应用与探究·

１．有三个好朋友在谈论这次考试的成绩．小明说：“小红的分数比小强高”；小红说：“小明的分数比小强高”；小强说：“小明的分数比小红低”．这三人中谁的分数最高？谁的分数最低？（小红最高，小强最低）

２．有这样的一个月份：星期六的天数比星期五的天数多，星期日的天数比星期一的天数

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多．这个月的6号是星期几？（星期四）

３．某年的一月份，有五个星期二与五个星期四，那么这一年的1月12日是星期几？

（星期六）

４．赵老师、孙老师、李老师三人各教语文、数学、英语中的一科．已知赵老师不教数学，孙老师既不教语文也不教数学，那么教数学的是哪位老师？（李老师）

５．房、胡、唐三名老师分别来自重庆、达州、遂宁，分别教数学、历史、生物．已知：唐老师不是达州人，胡老师不是遂宁人；遂宁的老师教生物；达州人不教数学；房老师教数学．那么唐老师教什么课？（生物）

６．一天老师发现全班50个学生中有学生没戴红领巾，并且任何两个学生之间必有一个带了红领巾，那么共有多少人没戴红领巾？（1个）

７．有4盆水，如果全部倒入小桶内，需要3只小桶；有5大杯水，如果全部倒入盆内，能装满2盆．现有20大杯水，如果改用小桶来装，需准备几只小桶？（6只）

８．A、B、C、D、E五组拔河比赛，每两组都赛一场，规定胜者得2分，负者不得分．已知比赛结果如下：A与E并列第一名；B是第三名；C和D并列第四名．那么B的得分是多少分？（4分）

９．全校要选一个代表去参加会议，候选人有甲、乙两个人，共121人参加选举，每人选一人．开票中途累计：甲已获45票，乙已获35票．最后得票多的当选，那么甲至少还要获多少票能当选？（16票）

１０．传说中有一个小国，这个国家的人有一半人说谎话，另一半人说真话．有一天，这个国家的一群人，来到一个酒店，围坐在一个圆桌旁．已知，说谎话的与说真话的相间隔坐（即一个说谎话的人旁边是说真话的人）．这时，其中的一人对服务员说：“给我们每人来一杯水，总共13杯．”请问：说话的这个人是说真话还是喜欢说谎话的人？（说假话）

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第十二讲 定义新运算

·知识引领·

我们已经学习过加法、减法、乘法、除法运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，其意义、符号和运算定律已被大家熟悉．很多时候，为了某种需要，常把许多含有加、减、乘、除的运算用一个代表符号表示．这样的运算及符号在课本中没有统一的规定，通过学习这些知识，对于同学们开阔视野、拓展思维都会大有好处．

·经典题例·

例1 设a,b都表示数，规定a△b?3?a?2?b．

（1）求：3△2＝？2△3＝？（2）如果已知4△b?2，求b??

解析 本题规定的运算的本质是用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍． （1）3△2＝3×3－2×2＝5

2△3＝3×2－2×3＝0

（2）因为4△b?3?4?2?b?12?2b，那么12?2b?2，解出b?5．

例2 定义运算◎为A◎B＝A×B－(A＋B)，

求：（1）7◎11＝？ （2）12◎5＝？ （3）12◎(3◎4)＝？

解析 新运算符号前后两个数之积减去这两个数之和，注意有括号的先计算． （1）7◎11＝7×11－(7＋11)＝59 （2）12◎5＝12×5－(12＋5)＝43

（3）12◎(3◎4)＝12◎［3×4－(3＋4)］ ＝12◎5

＝12×5－(12＋5) ＝43

例3 已知2*3＝2＋22＋222＝246，3*4＝3＋33＋333＋3333＝3702． 求：（1）3*3＝？（2）5*4＝？（3）若1*x＝123，求x＝？

解析 观察已知两个等式可以发现，“*”定义的是连加计算，第一个加数是“*”前面的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数．

（1）3*3＝3＋33＋333＝369

（2）5*4＝5＋55＋555＋5555＝6170

（3）1*x?1?11?111?...?1...1?123 ?x个1倒着算，123－1＝122

122－11＝111 111－111＝0

即1＋11＋111＝1*3＝123 所以x＝3

例4 设a为大于1的整数，规定a*b?ab?a?b（如：3*5＝3×5＋3－5＝13）． 计算：(4*6)*(6*4)＝？

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