2016年河南省开封市高三理科一模数学试卷

2016年河南省开封市高三理科一模数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 已知复数 ??=1+??i ??∈?? （i 是虚数单位），??=?5+5i，则 ??= ??

A. 2

2

??3

4

B. ?2 C. ±2 D. ? 2

1

1

= ?1,2cos?? 垂直，则 cos2?? 的值等于 ?? 2. 设 ?? = ,cos?? 与 ??

A. ?

2 2

B. 0

C. ?2 3

1

D. ?1

3. 已知命题 ??1:???∈ 0,+∞ ，有 3??>2??，??2:???∈??，sin??+cos??=2，则在命题 ??1:??1∨??2；??2:??1∧??2；??3: ???1 ∨??2 和 ??4:??1∧ ???2 中，真命题是 ?? A. ??1，??3

B. ??2，??3

C. ??1，??4

D. ??2，??4

4. 已知函数 ?? ?? 是定义在 ?? 上的偶函数，且在区间 0,+∞ 上单调递增．若实数 ?? 满足 ?? log2?? +?? log1?? ≤2?? 1 ，则 ?? 的最小值是 ??

2

A. 2

3

B. 1

C. 2

1

D. 2

5. 如图的程序框图，如果输入三个实数 ??，??，??，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 ??

A. ??>??? B. ??>??? C. ??>??? D. ??>???

6. 下列说法错误的是 ??

A. 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B. 在线性回归分析中，相关系数 ?? 的值越大，变量间的相关性越强

C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D. 在回归分析中，??2 为 0.98 的模型比 ??2 为 0.80 的模型拟合的效果好

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??+??≥1,

7. 若 ??，?? 满足约束条件 ?????≥?1, 且目标函数 ??=????+2?? 仅在点 1,0 处取得最小值，则 ?? 的

2?????≤2,取值范围是 ??

A. ?4,2

B. ?4,2

C. ?4,1

D. ?4,1

8. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ??

A. 5 等于 ??

A. 8 为 ??

B. 4

C. 2

D. 1

1

B. 5

3

C. 10 7

D. 10 9

9. 已知在各项为正的等比数列 ???? 中，??2 与 ??8 的等比中项为 8，则 4??3+??7 取最小值时，首项 ??1

10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积

A.

16π3

2

??2

B. 3

8π

C. 4 3 D. 2 3π

11. 过双曲线 ??：?????2=1 ??>0 的左顶点 ?? 作斜率为 1 的直线 ??，若 ?? 与双曲线 ?? 的两条渐近

线分别相交于点 ??，??，且 ???? = ???? ，则双曲线 ?? 的离心率是 ??

A. 10

B. 5

C.

10 3

D.

52

12. 设函数 ?? ?? =e?? ??3?3??+3 ???e?????（??≥?2），若不等式 ?? ?? ≤0 有解，则实数 ?? 的最

小值为 ?? A. e?1

2

B. 2?e

2

C. 1?e

1

D. 1+2e2

二、填空题（共4小题；共20分）

2??,??≤01

13. 设函数 ?? ?? = ，则方程 ?? ?? =2 的解集为 ．

log2?? ,??>0

14. 已知函数 ?? ?? =2sin π+?? sin ??+3+?? 的图象关于原点对称，其中 ??∈ 0,π ，则

??= ．

，当 ???? =?????? +?????? 时，则 15. 在 △?????? 中，点 ?? 在线段 ???? 的延长线上，且 ???? =3 ????

?????= ．

π

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16. 已知函数 ??=?? ?? 的定义域为 ??，当 ??<0 时，?? ?? >1，且对任意的实数 ??,??∈??，等式

?? ?? ?? ?? =?? ??+?? 恒成立．若数列 ???? 满足 ??1=?? 0 ，且 ?? ????+1 =?? ?2??? ??∈??? ，则

??

1

??2015 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）

17. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，若 ??cos??，??cos??，??cos?? 成等差数列．

（1）求 ??；

（2）若 ??+??=

3 32

，??= 3，求 △?????? 的面积.

12

18. 如图 1，在直角梯形 ???????? 中，∠??????=90°，????∥????，????=????=????=2．将 △?????? 沿 ????

折起，使 平面??????⊥平面??????，得到几何体 ?????????，如图 2 所示．

（1）证明：平面??????⊥平面??????；

（2）求二面角 ?????????? 的余弦值．

19. 某生物产品，每一个生产周期成本为 20 万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具

有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

产量 吨 概率概率

0.50.5

10.40.6

30

50

市场价格 万元/吨 0.6

（1）设 ?? 表示 1 个生产周期此产品的利润，求 ?? 的分布列；

（2）连续 3 个生产周期，求这 3 个生产周期中至少有 2 个生产周期的利润不少于 10 万元的概

率．

20. 如图，已知圆 ??: ???2

的左顶点．

2

+??=?? 是椭圆 16+??2=1 的内接 △?????? 的内切圆，其中 ?? 为椭圆

2

2

??2

（1）求圆 ?? 的半径 ??；

（2）过点 ?? 0,1 作圆 ?? 的两条切线交椭圆于 ??，?? 两点，证明：直线 ???? 与圆 ?? 相切．

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21. 已知函数 ?? ?? =??ln??+????. ??∈??

（1）若函数 ?? ?? 在区间 e2,+∞ 上为增函数，求 ?? 的取值范围；

（2）若对任意 ??∈ 1,+∞ ，?? ?? >?? ???1 +??????? 恒成立，求正整数 ?? 的值．

22. 如图，四边形 ???????? 是 ⊙?? 的内接四边形，???? 的延长线与 ???? 的延长线交于点 ??，且 ????=????．

（1）证明：∠??=∠??；

（2）设 ???? 不是 ⊙?? 的直径，???? 的中点为 ??，且 ????=????，证明：△?????? 为等边三角形． 23. 极坐标系与直角坐标系 ?????? 有相同的长度单位，以原点 ?? 为极点，以 ?? 轴正半轴为极轴．已知

曲线 ??1 的极坐标方程为 ??=2 2sin ??+4 ，曲线 ??2 的极坐标方程为 ??sin??=?? ??>0 ，射线 ??=??，??=??+4，??=???4，??=??+2 与曲线 ??1 分别交异于极点 ?? 的四点 ??，??，??，??． （1）若曲线 ??1 关于曲线 ??2 对称，求 ?? 的值，并把曲线 ??1 和 ??2 化成直角坐标方程．

（2）求 ???? ? ???? + ???? ? ???? 的值． 24. 设函数 ?? ?? = ????? ，??<0．

（1）证明：?? ?? +?? ? ≥2；

??

（2）若不等式 ?? ?? +?? 2?? < 的解集非空，求 ?? 的取值范围．

21

1

π

π

ππ

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