2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第九章第8节 曲线与方程(含解析)

第8节 曲线与方程

考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

知 识 梳 理

1.曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的基本步骤

[常用结论与微点提醒]

1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.( ) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( ) (4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线.( )

解析 对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝x是曲线x＝y2的一部分，错误. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(老教材选修2－1P37A2改编)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( ) A.双曲线 C.一条射线

B.双曲线左支 D.双曲线右支

解析 由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线. 答案 C

3.(老教材选修2－1P37A1改编)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________. 解析 由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则2

（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).

（x＋2）2＋y2＝

答案 (x－2)2＋y2＝4(y≠0)

4.(2019·广州调研)方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 C.两条线段

B.两条射线

D.一条直线和一条射线

x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x

??2x＋3y－1＝0，解析 原方程可化为?或

??x－3≥0

＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线. 答案 D

1?1?

，0??5.已知点F4，直线l：x＝－4，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直??线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ) A.双曲线 C.圆

B.椭圆 D.抛物线

解析 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线. 答案 D

6.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是________________.

解析 设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)21

－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－2. 1

答案 y＝4x2－2

考点一 直接法求轨迹方程

【例1】 (1)已知A(－1，0)，B(1，0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，→2＝λAN→·→，则当λ<0时，动点M的轨迹为( ) 若MNNBA.圆 C.双曲线

B.椭圆 D.抛物线

(2)(2020·西安调研)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对

1

称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－3.则动点P的轨迹方程为________________.

→2＝y2，λAN→·→＝λ(x＋1，0)·

解析 (1)设M(x，y)，则N(x，0)，所以MNNB(1－x，0)y2

＝λ(1－x)，所以y＝λ(1－x)，即λx＋y＝λ，变形为x＋λ＝1，所以当λ<0时，

2

2

2

2

2

2

动点M的轨迹为双曲线.

(2)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1). y－1y＋11

设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－3，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1) .故动

x＋1x－1点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1.) 答案 (1)C (2)x2＋3y2＝4(x≠±1) 规律方法 利用直接法求轨迹方程

(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.

【训练1】 与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________.

解析 若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以（x－3）2＋y2＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，

若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0). 答案 y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0) 考点二 定义法求轨迹方程

典例迁移

【例2】 (经典母题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与