2020学年高中数学课时作业12渐开线与摆线（选讲）新人教A版选修4 - 4

课时作业(十二)

?x＝1＋t，?

1．(2017·沧州七校联考)若直线l：?(t为参数)经过原点，则m的值等于( )

?y＝2＋mt?

A．1 C．3 答案 B

B．2 D．4

???x＝－1＋t，?x＝1＋tcosα，

?2．已知直线l1：与l2：?(t为参数)，若l1∥l2，则l1与l2之?y＝2＋t?y＝－2＋tsinα??

间的距离为( ) A.2 C．32 答案 C

??x＝x0＋at，

3．直线?(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|＝( )

?y＝y0＋bt?

B．22 D．42

A．|t1＋t2| C.a＋b|t1－t2| 答案 C

x＝x＋???x＝x＋at，?

解析 ?????y＝y＋bt

??y＝y＋

0

00

0

2

2

B．|t1－t2| D.

|t1－t2|

22

a＋b

a＋ba＋ba

2

22

aa＋bba＋b

2

222t，

2

2

t.

令

??

a＋bt＝t′，则有?

??y＝y＋

2202

2

x＝x0＋

a＋bba＋b

2

2

t′，

2

t′，

则|AB|＝|t1′－t2′|＝a＋b|t1－t2|.

???x＝1－3t，?x＝1＋λcosθ，

4．若方程?(t为参数)与?(λ为参数)表示同一条直线，则λ

?y＝4t?y＝λsinθ??

与t的关系是( ) A．λ＝5t C．t＝5λ 答案 A

B．λ＝－5t D．t＝－5λ

3

x＝1－（5t），?5??x＝1－3t，??解析 ??

?y＝4t4?

??y＝5（5t）.

34

∵表示相同直线，∴cosθ＝－，sinθ＝，∴λ＝5t.

55

?x＝1－2t，?x＝s，??

??5．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝________． ???y＝2＋kt?y＝1－2s

答案 －1

1

x＝2＋t，?2?

6．直线的参数方程是?(其中t为参数)，那么它的斜截式方程为________．

3

y＝3＋t??2答案 y＝3x＋3－23

1

解析 由x＝2＋t，得t＝2x－4，代入

2y＝3＋

3

t，得y＝3x＋3－23. 2

3

?x＝1＋t，?2

7．过定点P(1，2)的直线?(t为参数)，与圆x＋y＝4相交于A、B两点，则

1

??y＝2＋2t2

2

|AB|＝________． 答案

3＋43

3

?x＝1＋t，?2

解析 将?代入x＋y＝4，

1y＝2＋t??2

2

2

得(1＋

3212

t)＋(2＋t)＝4. 22

3212

1＋3t＋t＋4＋2t＋t＝4.

44∴t＋(3＋2)t＋1＝0.

∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）－4t1t2＝ （3＋2）－4＝7＋43－4＝3＋43.

?x＝1＋t，?

8．设直线l1的参数方程为?(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2

?y＝1＋3t?

2

2

2

间的距离为________． 答案

3

10 5

解析 本小题主要考查参数方程及两直线的距离．l1的普通方程为3x－y－2＝0，又l2：3x－y＋4＝0，

∴由两直线的距离公式，得d＝

6

3

＝10. 105

???x＝－2＋4t，?x＝2＋5cosθ，

9．直线?(t为参数)被圆?(θ为参数)所截得的弦长为

?y＝－1－3t?y＝1＋5sinθ??

________． 答案 6

??x＝8t，

10．(高考真题·天津)已知抛物线C的参数方程为?(t为参数)，若斜率为1的直线

?y＝8t?

2

经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)＋y＝r(r>0)相切，则r＝________． 答案

2

1

x＝1＋t，

2

222

??

11．一条直线的参数方程为?(t为参数)，另一条直线的方程是x－y－2

3

??y＝－5＋2t则两条直线的交点与点P(1，－5)的距离是________． 答案 43

π2

12．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，倾斜角为的直线l交此抛物线于A、B两点．

3(1)求直线l的参数方程； (2)求|AB|.

p

解析 (1)焦点(，0)，

2p1x＝＋t，??22

?3(t为参数)． ??y＝2t

(2)将直线参数方程代入，可得 32p122

t＝2p(＋t)，∴3t－4pt－4p＝0. 422

3＝0，

4

t＋t＝p，??3∴?∴|t－t|＝4

??tt＝－3p.

1

2

1

2

2

12

1621628

p＋p＝p. 933

?x＝2＋t，22

13．求直线?(t为参数)被双曲线x－y＝1截得的弦长．

?y＝3t

?x＝x0＋tcosα，?

解析 注意到直线的参数方程不是标准形式?故所给的参数方程中的参数t

?y＝y＋tsinα，0?

不具有明显的几何意义，所以要将其化为参数方程的标准形式 11

x＝2＋（2t）＝2＋m，?22?

(m＝2t为参数)． ?3

3

y＝（2t）＝m??22123222

代入x－y＝1，得(2＋m)－(m)＝1.

22整理，得m－4m－6＝0. 设其两根分别为m1，m2， 则m1＋m2＝4，m1·m2＝－6. 故代入弦长公式，得

|AB|＝|m1－m2|＝（m1＋m2）－4m1m2 ＝4－4×（－6）＝40＝210.

?x＝5cosθ，?3

14．已知直线l过点P(－3，－)与圆C：?

2??y＝5sinθ

2

22

(θ为参数)相交于A、B两点．若|AB|＝8，求直线l的方程． 解析 方法一：设直线l的参数方程为

x＝－3＋tcosα，??55222

(t为参数)，代入圆的方程x＋y＝25，得t－3(2cosα＋sinα)t－?3

4y＝－＋tsinα?2?＝0.

∵Δ＝9(2cosα＋sinα)＋55>0， ∴方程有两个不等实数根t1，t2.

55

∴t1＋t2＝3(2cosα＋sinα)，t1t2＝－.

4∵|AB|＝8，

∴|t1－t2|＝8，即9（2cosα＋sinα）＋55＝8. 两边平方整理，得3cosα＋4sinαcosα＝0，

2

2

2