高考专题数学归纳法

全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．

a1?a1＋nd?

π*

14．(优质试题·扬州模拟)在数列{an}中，an＝cosn－2(n∈N)． 3×2(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；

2(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关

n·n！系，并证明你的结论．

π2π

解 (1)an＝cos＝cos n－2n－1

3×23×2π??

?cos?2＝2?n－1?－1， 3×2??∴an＝2a2n＋1－1， ∴an＋1＝±

*

1

an＋1

2，

an＋12.

又n∈N，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝1

(2)当n＝1时，a1＝－2，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1， 111

当n＝2时，a2＝2，b2＝1－2＝2，∴a2＝b2， 318

当n＝3时，a3＝2，b3＝1－9＝9，∴a3

①当n＝3时，由上知，a3

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即ak<1－，

k·k！

2－

k·k！

2

2

2

则当n＝k＋1，ak＋1＝＝ak＋1

2<

121－，bk＋1＝1－， k·k！?k＋1?·?k＋1?！

2??1?

???221－1－

?

要证ak＋1

?

即证明1－<1－＋

k·k！?k＋1?·?k＋1?！2??

??2??k＋1?·?， ?k＋1?！??

2??

??2

即证明－＋??>0， ?k＋1?·?k＋1?！k·k！?k＋1?·?k＋1?！??

1

4

2??

??2

即证明 ＋??>0，显然成立． ?k＋1?·?k＋1?！k?k＋1?·?k＋1?！??∴n＝k＋1时，结论也成立．

综合①②可知：当n≥3时，an

综上可得，当n＝1时，a1>b1；当n＝2时，a2＝b2； 当n≥3，n∈N*时，an

15．(优质试题·上饶模拟)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn且1Tn＝1－2bn.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

?k－1?2

1

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1

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较b与Sn＋1的大小，并说明

n

理由．

解 (1)设an的首项为a1，

∵a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，

?a2＋a5＝12，∴?

a5＝27，?a2·

∴an＝2n－1.

?a1＝1，

解得?

?d＝2，

12

∵n＝1时，b1＝T1＝1－2b1，∴b1＝3. 11

n≥2时，Tn＝1－2bn①，Tn－1＝1－2bn－1②， 1

①－②得bn＝3bn－1数列是等比数列． 2?1?n－12??∴bn＝3·＝3n. ?3?

1＋?2n－1?22

(2)Sn＝n＝n，S＝(n＋1)， ＋n1

21

以下比较b与Sn＋1的大小：

n

131

当n＝1时，b＝2，S2＝4，b

1

1

191

当n＝2时，b＝2，S3＝9，b

2

2

1271

当n＝3时，b＝2，S4＝16，b

331811

当n＝4时，b＝2，S5＝25，b>S5，

441

猜想：n≥4时，b>Sn＋1.

n

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下面用数学归纳法证明： ①当n＝4时，已证．

1

②假设当n＝k(k∈N，k≥4)时，b>Sk＋1，

k

*

3k

即2>(k＋1)2，那么，n＝k＋1时，

k＋1313k22＝2＝3·>3(k＋1)＝3k＋6k＋3 2bk＋1

＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1. 1

综合①②，当n≥4时，b>Sn＋1.

n

16．(优质试题·合肥模拟)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．

(1)证明：2≤xn

解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤xn

2－4

11

令y＝0，解得x2＝4，所以2≤x1

直线PQk＋1的方程为y－5＝(x－4)，

xk＋1－4