2020高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其运算教师用书

2019年

∴x＝a，y＝，z＝. ∴M(，，)， ∴||＝＝a.

7．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 答案 锐角

解析 因为·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋2 ＝2>0，

所以∠CBD为锐角．

同理∠BCD，∠BDC均为锐角．

8．(2016·南京模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为______________． 答案 ，，4

解析 如图所示， 取BC的中点E，连接AE.

→

OG＝＝(＋)

12a－a3

aaa

2＋a－2＋－

323

2

＝＋2→AE ＝＋(＋) ＝＋(－＋－) ＝(＋＋)， ∴x＝y＝z＝.

9．(2016·天津模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体， ①(＋＋)2＝32；

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2019年

②·(－)＝0；

③向量与向量的夹角是60°；

④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|. 其中正确的序号是________． 答案 ①②

解析 ①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中，－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中，|··|＝0，故④也不正确．

*10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1.

以上正确说法的个数为________． 答案 3

解析 ＝＋＝＋，＝＋＝＋， ∴∥，

∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，

A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.

①③④正确．

11.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)EG的长；

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(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值． 解 (1)设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

→

EF＝＝c－a，＝－a，＝b－c. →

EF·＝·(－a)

＝a2－a·c＝.

(2)·＝(c－a)·(b－c)

＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－. (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

*12.(2016·沈阳模拟)直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． (1)证明 设＝a，＝b，＝c， 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|， 且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D.

(2)解 ∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.

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→

AC′·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

13．(2016·宁海中学模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点． (1)试用a，b，c表示； (2)求证：MN∥平面ABB1A1. (1)解 ∵＝－＝c－a， ∴＝＝(c－a)． 同理，＝(b＋c)，

∴＝－＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b. (2)证明 ∵＝＋＝a＋b， ∴＝，即MN∥AB1，

∵AB1?平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1， ∴MN∥平面ABB1A1.