2020高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其运算教师用书

2019年

(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体

ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； (2)＋.

解 (1)因为P是C1D1的中点，

→

所以＝＋＋D1P →＝a＋＋2D1C1

1

＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因为M是AA1的中点， 所以＝＋＝＋→AP ＝－a＋(a＋c＋b) ＝a＋b＋c.

→又＝＋＝＋AA1

＝＋＝c＋a，

所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c) ＝a＋b＋c.

题型二 共线定理、共面定理的应用

2019年

例2 (2016·天津模拟)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH；

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)． 证明 (1)连接BG， 则＝＋→BG ＝＋(＋) ＝＋＋→EH ＝＋，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．(2)因为＝－→AE

＝－1

→2AB ＝(－)＝， 所以EH∥BD.

又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，由(2)知＝， 同理＝，

所以＝，即EH綊FG，

所以四边形EFGH是平行四边形， 所以EG，FH交于一点M且被M平分． 故＝(＋) ＝＋1

→2OG

OG. 2019年

＝[(＋)]＋[(＋)] ＝(＋＋＋)．

思维升华 (1)证明空间三点P，A，B共线的方法 ①＝λ(λ∈R)；

②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)； ③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)． (2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝＋x＋y；

③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥或∥)．

已知A，B，一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解 (1)由题意知＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－) 即＝＋＝－－， ∴，，共面．

C三点不共线，对平面ABC外的任

2019年

(2)由(1)知，，共面且基线过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面． 从而点M在平面ABC内． 题型三 空间向量数量积的应用

例3 (2016·济南模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长；

(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD.

(1)解 设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝＝

|a|2＋|b|2＋|c|2＋2

a＋b＋c2 a·b＋b·c＋c·a

＝＝.

∴线段AC1的长为.

(2)解 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c，

∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝＝＝.

∴cos θ＝＝||＝.

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明 ∵＝c，＝b－a，

∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，

|b|2－2b·c＋|c|2