2020高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其运算教师用书

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其

运算教师用书

1.空间向量的有关概念

名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

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②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a21＋a22＋a23 a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23 【知识拓展】

(1)向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．

(2)向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √ )

(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.( √ )

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1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( ) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案 C 解析 如图，

设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，

∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.

2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A．a∥b，a∥c C．a∥c，a⊥b 答案 C

解析 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c.

又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b.故选C.

3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．

32222?答案 和??－，－，?

1052

B．a∥b，a⊥c D．以上都不对

??

解析 因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)． 4．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________． 答案

2

解析 ||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，

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∴||＝，∴EF的长为.

题型一 空间向量的线性运算

例1 (1)如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示) 答案 a＋b＋c 解析 ＝＋＝＋＋4→OC ＝a＋b＋c.

(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

→解 ＝＋＝＋3AN

2

1

＝＋(－) ＝＋[(＋)－] ＝－＋＋.

1→→

OG＝＋＝－＋＋OC

3

＝＋＋.

思维升华 用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．