离散数学试卷及答案

一、 填空 10% （每小题 2分）

1、 设?A,?,?,??是由有限布尔格?A,??诱导的代数系统，S是布尔格?A,??，中所有原子的集合，则

?A,?,?,?? ～ 。

2、 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为

* α β γ δ α δ α β α β α β γ δ γ β γ γ γ δ γ δ γ δ 那么，代数系统中的幺元是 , α的逆元是 。

3、 设I是整数集合，Z3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z3上定义+3如下：[i]?3[j]?[(i?j)mod3]，则+3的运算表为 ；是否构成群 。 4、 设G是n阶完全图，则G的边数m= 。

5、 如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。现有28个数需要计算和，它至少要执行 次这个加法指令。

二、 选择 20% （每小题 2分）

1、 在有理数集Q上定义的二元运算*，?x,y?Q有x*y?x?y?xy，则Q中满足（ ）。 A所有元素都有逆元； B、只有唯一逆元；C、?x?Q,x?1时有逆元x； D、所有元素都无逆元。 2、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是（ ）。

A半群，但不是独异点； B、只是独异点，但不是群；C、群； D、环，但不是群。

?13、图 给出一个格L，则L是（ ）。

A、分配格； B、有补格； C、布尔格； D、 A,B,C都不对。

2、 有向图D=

，则v1到v4长度为2的通路有（ ）条。

A、0； B、1； C、2； D、3 。

3、 在Peterson图中，至少填加（ ）条边才能构成Euler图。

A、1； B、2； C、4； D、5 。

三、 判断 10% （每小题 2分）

1、 在代数系统中如果元素a?A的左逆元ae存在，则它一定唯一且a?1?1?ae?1。（ ）

2、 设是群的子群，则中幺元e是中幺元。（ ） 3、 设A?{x|x?a?b3,a,b均为有理数}， +,·为普通加法和乘法，则代数系统是域。（ ）

4、 设G=是平面图，|V|=v, |E|=e，r为其面数，则v-e + r=2。（ ） 5、 如果一个有向图D是欧拉图，则D是强连通图。（ ）

四、证明 46%

??A，使得x?*x?e，则是群。1、 设，是半群，e是左幺元且?x?A,?x（10分）

2、 循环群的任何非平凡子群也是循环群。（10分）

3、 设aH和bH是子群H在群G中的两个左陪集，证明：要末aH?bH??，要末 aH?bH。（8分）

4、 设，是一个含幺环，|A|>3，且对任意?a?A，都有a?a?a，则不可能是整环（这时称是布尔环）。（8分）

5、 若图G不连通，则G的补图G是连通的。（10分）

五、布尔表达式 8%

设E(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x2?x3)是布尔代数?{0,1},?,?,的析取范式和合取范式。

?上的一个布尔表达式，试写出其

六、图的应用 16%

1、 构造一个结点v与边数e奇偶性相反的欧拉图。（6分）

2、 假设英文字母，a，e，h，n，p，r，w，y出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year的编码信息。（10分） 一、填空 10%（每小题2分）

1、

；2、β，γ；3、 + 3 [0] [1] [2] 是； 4、

一、 选择 10%（每小题 2分） 题目 答案 二、

1 C 2 B 3 D 4 B 5 D 1n(n?1)；5、9 2[0] [1] [2] [0] [1] [2] [1] [2] [0] [2] [0] [1] 判断 10%（每小题2分）

1 N 2 Y 3 Y 4 N 5 Y 题目 答案 三、 证明 46% 1、（10分）证明：

（1）?a,b,c?A,若a*b?a*c则b?c

?使a?*(a*b)?a?*(a*c)事实上:?a*b?a*c??a?*a)*b?(a?*a)*c,?e*b?e*c (a即:b?c(2) e 是之幺元。

事实上：由于e是左幺元，现证e是右幺元。

?使x?*(x*e)?(x?*x)*e?e*e?e?x?*x?x?A,x*e?A,?x由(1)即x*e?x,?e为右幺元（3）?x?A,则x?1

?A

?)*x?x*(x?*x)?x*e?x?e*x事实上:?x?A(x*x??e故有x?*x?x*x??e?x有逆元x?x*x由（2），（3）知：为群。 2、（10分）证明：

a?S，设是循环群,G=(a)，设是的子群。且S?{e},S?G，则存在最小正整数m，使得：对任意a?S，

必有l?tm?r,故：a?arl?tmml0?r?m,t?0，

?al*a?tm?al*(am)?t?S 即：al?ar*(am)t?S

lmtrm所以a?S 但m是使a?S的最小正整数，且0?r?m，所以r=0即：a?(a)

这说明S中任意元素是a的乘幂。 所以是以a为生成元的循环群。

mm3、（8分）证明：

对集合aH和bH，只有下列两种情况： （1）aH?bH?? ； （2）aH?bH??

对于aH?bH??，则至少存在h1,h2?H，使得ah1?bh2，即有a?bh2h1?1，这时任意ah?aH，有

ah?bh2h1h?bH，故有aH?bH

同理可证：bH?aH所以 aH?bH 4、（8分）证明：

反证法：如果，是整环，且有三个以上元素，则存在a?A,a??,a?1且a?a?a

即有：a??,a?1??但a?(a?1)?a?a?a?a?a?? 这与整环中无零因子条件矛盾。因此不可能是整环。

5、（10分）证明：

因为G=< V，E>不连通，设其连通分支是G(V1),?,G(Vk)?1(k?2)，?u,v?V，则有两种情况：

（1） 中连通。 （2）

u , v，分别属于两个不同结点子集Vi，Vj，由于G(Vi) , G(Vj)是两连通分支，故(u , v)在不G中，故u , v 在Gu ,v ，属于同一个结点子集Vi，可在另一结点子集Vj中任取一点w，故(u , w),(w , v )均在G中，故邻接边( u ,w )

( w , v ) 组成的路连接结点u和v，即u , v在G中也是连通的。

五、布尔表达式 8%

函数表为：

x1 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 0 0 1 1 0 0 1 1 x30 1 0 1 0 1 0 1 E(x1,x2,x3) 0 1 0 1 0 1 1 1