挑战中考数学压轴题(推荐)

s12111x1?x2??2．由于y2?y1?3，所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3．整理，得

38484721??1(x2?x1)?(x2?x1)???3．因此得到x2?x1?．

84S???x2?x1?14,?x1?6,当S=36时，? 解得? 此时点A1的坐标为（6，3）．

x?x?2.x?8.?21?2（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴

交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF． 因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于tan?GAF?

DQt33t20?，tan?PQD?，所以?．解得t?． QP5?t445?t7

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例5 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

,

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为

1y?a(x?1)(x?4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a??．所以抛物线的解析式为

2115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2．

2221（2）设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4))．

2①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM??1(x?1)(x?4)，AM?4?x． 21?(x?1)(x?4)AMAO??2，那么2如果?2．解得x?5不合题意． PMCO4?x1?(x?1)(x?4)AMAO11??，那么2如果?．解得x?2． PMCO24?x2此时点P的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM?1(x?1)(x?4)，AM?x?4． 21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x?5．此时点P的坐标为(5,?2)．

x?41(x?1)(x?4)12解方程?，得x?2不合题意．

x?421③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM?(x?1)(x?4)，AM?4?x．

21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x??3．此时点P的坐标为(?3,?14)．

4?x1(x?1)(x?4)1解方程2?，得x?0．此时点P与点O重合，不合题意．

4?x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(?3,?14)或(5,?2)．

图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y?设点D的横坐标为m(1?m?4)，那么点D的坐标为(m,?1x?2． 2125m?m?2)，点E的坐22标为(m,11511m?2)．所以DE?(?m2?m?2)?(m?2)??m2?2m． 2222211222因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)?4．

22当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．

设点D的横坐标为（m，n）(1?m?4)，那么

111(2n?2)?4?m(n?2)?n(4?m)??m?2n?4． 2221252由于n??m?m?2，所以S??m?4m．

22S?