数学新导学案人教B讲义：第二章 数列 2.3.1 第1课时 Word版含答案

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§2.3 等比数列

2.3.1 等比数列

第1课时 等比数列的概念及通项公式

学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．

知识点一 等比数列的概念 等比数列的概念和特点．

1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． an＋1an2．递推公式形式的定义：＝q(n≥2)?或＝q，n∈N＋?.

?an?an－13．等比数列各项均不能为0. 知识点二 等比中项的概念

等比中项与等差中项的异同，对比如下表：

对比项 定义 等差中项 若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项 A－x＝y－A x＋yA＝ 2x与y的等差中项唯一 任意两个数x与y都有等差中项 等比中项 若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项 Gy＝ xGG＝±xy x与y的等比中项有两个，且互为相反数 只有当xy＞0时，x与y才有等比中项 定义式 公式 个数 备注

知识点三 等比数列的通项公式

若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn1(n∈N＋)．

－

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1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )

1111

3．等比数列1，，，，…中，第10项为9.( √ )

24824．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )

题型一 等比数列的判定

命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n-1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，….

解 (1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，…. an3n-1

∵＝n-2＝3(n≥2，n∈N＋)， an－13∴数列为等比数列，且公比为3.

(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， a2a3∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． a1a2

(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；

当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：

①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.

跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )

①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x2，x3，x4；④a1，a2，a3，a4.

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A．①② B．①②③

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C．①②④ 答案 C

D．①②③④

解析 ①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是； a不能为0，④符合等比数列定义，故④是． 命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列 例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. an＋1＋1∴＝2(n∈N＋)． an＋1∴数列{an＋1}是等比数列．

(2)解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1. 反思感悟 等比数列的判定方法

an(1)定义法：＝q(n≥2，q是不为0的常数)?{an}是公比为q的等比数列．

an－1(2)等比中项法：a2an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0)?{an}是等比数列． n＝an－1·跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4， a3＝3a2－2×3＋3＝－15.

an＋1－?n＋1?3an－2?n＋1?＋3－?n＋1?3an－3n

＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．

an－nan－nan－n又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2·3n-1，∴an＝n－2·3n-1. 题型二 等比数列基本量的计算

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例3 在等比数列{an}中． 1

(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；

2

1

(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.

2解 (1)设等比数列的公比为q，

???a1q＝4，?a1＝－8，则? 1解得?14

???a1q＝－2.?q＝－2.

11

－?n-1＝?－?n-4. ∴an＝a1qn-1＝(－8)??2??2?(2)设等比数列{an}的公比为q.

181

∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.

362∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.

?1?n-4. ∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·?2??1?n-4＝1，得n－4＝5，∴n＝9. 由16·?2?2

反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an.

解 (1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，

2

???a1q＝20，?q＝2，那么?解得?

5

?a1q＝160，???a1＝5.

所以an＝a1qn-1＝5×2n-1，n∈N＋.

方程的思想在等比数列中的应用

典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．