第一讲 定积分的数值计算

们通过实验来了解如何估计误差界限以及怎样使误差变小的方法。

数值实验3 使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分

观察当分割数 ，

依次增加10倍或100倍时误差的变化情况。

在观察过程中，注意各近似值中小数点后有几位相同。继续增大 ，直到我们希望的位数停止变化，我们称之为稳定。最令人感兴趣的是误差不是随机的，而是随 增大按一定规律变化。

Mathematica 程序（ch1-ex3.nb）

实验过程：(1) 改变分割次数的倍数，观察小数点后数字的变化；（2）改变被积函数观察

实验结果

对实验结果的观察，我们能得到如下事实：

（1） 左、右求积公式所致误差具有相反的符号，但在数值上近乎相等。这是因为，函

数

在

上单调增加，左和总是不足近似值，右和总是过剩近似值。

在每个子区间上几乎是一条

而且，因为每个子区间长度很小时，连续函数

直线，那么左和与右和的误差几乎相等。

（2） 中点求积公式与梯形求积公式能产生更好的近似。因为它们较好地消除了左和与

右和所致的不足误差与过剩误差。比如，梯形求积公式所致误差正好是左、右求积公式所致误差的平均值。

（3） 对左求积公式与右求积公式而言，每增加一个小数位的精度， 大约需要增大

10倍，即大约需要增加10倍的工作量。对应地， 增大10倍，使用中点求积公式和梯形求积公式大约能增加两个小数位的精度。因此，矩形求积公式的误差

大约正比于 ，中点求积公式和梯形求积公式大约正比于 中点求积公式和梯形求积公式具有更快的收敛速度。 一般地，如果某求积公式给出定积分精确值得

的一个近似值

。从这种意义上，

，且存在正数

，使

（非零常数）

那么，称该求积公式是

阶收敛的。特别，当

时，称该求积公式具有线性的收敛速

度；当 或 时，称该求积公式具有超线性的收敛速度。一般认为，一个二阶收敛的求积公式具有快的收敛速度。可以证明矩形求积公式具有线性的收敛速度，中点求积公式和梯形求积公式具有二阶收敛速度。

定理 设

在区间

上具有连续的二阶导数，那么梯形求积公式

是二阶收敛的。其中

证明 在小区间

的直线段

上，梯形求积公式用连接两端点 近似代替该小区间上的曲线弧

。易知

、

称

记

为

的一阶拉格朗日插值多项式或线性插值函数。

，称

为插值余项，那么

.

，并可设

. 任取 满足

，作辅助函数

易知 ，

，

反复应用罗尔定理可知，至少存在一点

，那么

，使得

，注意到

.

从而我们得到

，

，

于是

梯形求积公式的绝对误差可用

给出，显然

进一步，由于 在 上连续，记到了梯形求积公式的误差估计式

，那么我们就得

利用这一求积公式，我们得到如下几点认识： （1）当

定的。

时，梯形求积公式的误差

，这说明梯形求积公式是数值稳

（2）梯形求积公式的误差 是 阶的，或者说梯形求积公式是二阶收敛的，这说

明梯形求积公式有较快的收敛速度。 （3）利用该求积公式我们能确定适当的分割次数

来满足给定的精度要求。

（4）误差依赖被积函数。从该求积公式可以看出，较小的 产生较小的误差，说明

的二阶导数对梯形求积公式的误差有较大的影响。因为 决定曲线的曲率，因此

曲线越歪曲，梯形求积公式的误差越大，曲线越平坦，梯形求积公式的误差越小。这在几何上是非常清晰的，因为梯形求积公式是使用直线段近似代替曲线段，当曲线曲率较小时，在一个小区间上的一段曲线近乎直线。

实验四 辛普森求积公式及应用

细心观察上面的实验，还可以看出梯形求积公式与中点求积公式的误差符号相反，且前者约为后者的两倍。这样，我们就会想到利用这两个公式的加权平均数将得到更小的误差。这一公式称为辛普森求积公式。

下面我们从另一角度来阐述辛普森求积公式。我们知道，矩形公式、中点公式在每个子区间上用常数逼近，梯形公式在每个子区间上用线性函数逼近。如果我们在每个子区间上用二次函数逼近，即用抛物线代替原曲线，就得到辛普森求积公式。

由于二次函数含三个参数，每段要用相邻两个小区间端点的三个函数值，因此要将区间

分成

、

个子区间。在第 段的两个小区间上用三个节点

，那么有

、

作二次插值函数

将各段相加，得到辛普森求积公式

可以证明，如果 有连续的四阶导数，那么辛普森求积公式是四阶收敛的。所以辛普森求积公式有更高的精度和更快的收敛速度。

数值实验4 使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分的精度对照。

Mathematica 程序（ch1-ex4.nb） 实验过程 实验结果

，观察它们

数值实验5 使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分割数 增加5倍时误差的变化情况。

Mathematica 程序（ch1-ex5.nb）

实验过程 改变被积函数和积分区间，观察分割次数为2和20，10和100的精度变化 实验结果

，观察当分