【浙教版】八年级数学上第二章 特殊三角形 同步测试(含答案)

∴∠AFD＝30°，

∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°. 同理，∠FDE＝∠DEF＝60°. ∴△DEF是等边三角形.

23.(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由.

(第23题)

【解】 EF⊥BC.理由如下：

过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAC＝2∠CAD.

又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE， ∴∠BAC＝2∠E，

∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF.

又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC.

24.(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF.

(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系.

(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断.

(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝8，求此时线段CF的长(直接写出结果).

(第24题)

【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点， 11

∴DF＝BF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF.

22∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°. ∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF. ∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF， ∴∠DFE＝2∠DBF. 同理，∠CFE＝2∠CBF，

∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF. (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下： 如解图①，延长DF交BC于点G. ∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC， ∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF. ∵F为BE的中点，∴EF＝BF， ∴△DEF≌△GBF(AAS)， ∴DE＝GB，DF＝GF. ∵AD＝DE，∴AD＝GB.

∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC. ∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形. ∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF.

(第24题解)

(3)如解图②，延长DF交BA于点H. ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°. 由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°， ∴AE∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF. ∵F是BE的中点，∴EF＝BF. 又∵∠DFE＝∠HFB，

∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH. ∵BC＝AC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝4. ∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3. ∵∠BAD＝90°，∴DH＝10， 1010∴DF＝2，∴CF＝2. 25.(10分)问题探究：

(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由.

深入探究：

(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长.

(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长.

(第25题)

【解】 (1)BD＝CE.理由如下： ∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， 即∠EAC＝∠BAD.

，∵?AE＝AB，

在△EAC和△BAD中?∠EAC＝∠BAD，

?AC＝AD，

∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE.

(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°连结EC.

∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， 即∠EAC＝∠BAD.

在△EAC和△BAD中，∵?AE＝AB，

?∠EAC＝∠BAD，

?AC＝AD，

∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD. ∵AE＝AB＝7，∴BE＝72＋72＝98. 易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝45°＋45°＝90°，

∴EC＝BE2＋BC2＝（98）2＋32＝107， ∴BD＝EC＝107.

AE＝AB，，