学×思面授班初三数学 春季 目标班讲义 第2讲.方程与函数思想.目标班.学生版

x 当a?0时，图象落在x轴的下方， 无论x为任何实数，都有y?0． x?m时，当a?0，则y?0；当x?m时，则y?0. Δ?0 mx x?m时，当a?0，则y?0；当x?m时，则y?0. mx mnx当a?0， x?m或x?n时，则y?0；当x?m或x?n时，则y?0；当m?x?n时，则y?0. Δ?0 mn 当a?0，x?m或x?n时，则y?0；当x?m或x

x?n时，则y?0；当m?x?n时，则y?0.

【引例】1. 如图，函数y?ax?bx?c的图象如图所示：

⑴ 当x 时， y?0； ⑵ 当x 时， y?0； ⑶ 当x 时， y?0．

2例题精讲

2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A??1，0?、点B?3，0?和点C?0，?3?，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．

⑴ 二次函数的解析式为 ．

⑵ 当自变量 时，两函数的函数值都随x增大而增大． ⑶ 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷ 当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．

【解析】 1. ⑴ x?1或x?3；

⑵ x?3或x?1； ⑶ 1?x?3．

2. ⑴ y?x2?2x?3；⑵ x?1；⑶ 0?x?3；⑷ x??1．

典题精练

【例5】 ⑴下列命题：①若a?b?c?0，则b2?4ac?0；②若b?2a?3c，则一元二次方程

③若b2?4ac?0，则二次函数y?ax2?bx?c的ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根；

图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．④若b?a?c，则一元二次方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根．正确的是（ ）

A．②④ B．①③ C．②③ D．③④

⑵若m、n（m?n）是关于x的方程1??x?a??x?b??0的两根，且a?b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）

A．m?a?b?n B．a?m?n?b C．a?m?b?n D．m?a?n?b

⑶方程x2?3x?1?0的根可视为函数y?x?3的图象与函数y?1的图象交点的横坐x标，那么用此方法可推断出方程x3?2x?1?0的实根x0所在的范围是（ ） A．?1?x0?0 B．0?x0?1 C．1?x0?2 D．2?x0?3

【例6】 已知：关于x的方程x2?2ax??a?4??0①有两个实数根是x1、x2（x1?x2），若关于x的另一个方程x2?2ax?k?0②的两个实数根都在x1和x2之间．试比较：代数式k?4、a、a2?4之间的大小关系．

【例7】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx2?2mx?2?m≠0?与

yy轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线

1-1O-11xl的解析式；

（3）若该抛物线在?2?x??1这一段位于直线l的上方，并且 在2?x?3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

训练1. 二次函数y?ax?bx?c?a?0?的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：

⑴写出x为何值时，y的值大于0；

⑵写出x为何值时，y随x的增大而增大；

⑶若方程ax2?bx?c?k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

思维拓展训练(选讲)

2

训练2. 已知二次函数y?x2?(2m?1)x?m2?m（m是常数，且m?0）．

⑴证明：不论m取何值时，方程x2?(2m?1)x?m2?m?0总有两个不相等的

实数根；

⑵设二次函数与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1>x2），当m

x的取值满足什么条件时1?2≤2.

x1

训练3. 已知函数y?x2?bx?c?x≥0?，满足当x?1时，y??1，

且当x?0与x?4时的函数值相等．

⑴求函数y?x2?bx?c?x≥0?的解析式并画出它的图象 （不要求列表）；

⑵若f(x)表示自变量x相对应的函数值，且

?x2?bx?c (x≥0), 又已知关于x的方程f(x)?x?k有三个不相等的实数根，f(x)????2 (x?0),请利用图象直接写出实数k的取值范围．