(word完整版)2019年北京市高考数学试卷(理科)

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法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为 40 ．

【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解． 【解析】：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，

1则该几何体的体积V?4?2?2?(2?4)?2?4?40．

2故答案为：40．

【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 12．已知l，m是平面?外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l?m；②m//?；③l??．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l??，l?m，则m//? ．

【思路分析】由l，m是平面?外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l??，l?m，则m//?．

【解析】：由l，m是平面?外的两条不同直线，知：

由线面平行的判定定理得：若l??，则m//?．故答案为：若l??，则m//?． l?m，l?m，【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

13．设函数f(x)?ex?ae?x(a为常数）．若f(x)为奇函数，则a? ?1 ；若f(x)是R上

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的增函数，则a的取值范围是 ．

【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f(?x)??f(x)，即e?x?aex??(ex?ae?x)，变形可得分析可得a的值，即可得答案；

对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f(x)的导数

f?(x)?ex?ae?x…0在R上恒成立，变形可得：a?e2x恒成立，据此分析可得答案． 【解析】：根据题意，函数f(x)?ex?ae?x，

若f(x)为奇函数，则f(?x)??f(x)，即e?x?aex??(ex?ae?x)，变形可得a??1， 函数f(x)?ex?ae?x，导数f?(x)?ex?ae?x

0在R上恒成立， 若f(x)是R上的增函数，则f(x)的导数f?(x)?ex?ae?x…变形可得：a?e2x恒成立，分析可得a?0，即a的取值范围为(??，0]； 故答案为：?1，(??，0]．

【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．

14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x?10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．

【思路分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；

②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得(m?x)?80%…m?70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．

【解析】：①当x?10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60?80?140（元)， 即有顾客需要支付140?10?130（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m元， 可得(m?x)?80%…m?70%，

m即有x?，

8120， 由题意可得m…120可得x??15，

8则x的最大值为15元． 故答案为：130，15

【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

115．（13分）在?ABC中，a?3，b?c?2，cosB??．

2（Ⅰ）求b，c的值；

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（Ⅱ）求sin(B?C)的值．

【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；

（Ⅱ）sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC，根据正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解．

1【解析】：（Ⅰ）Qa?3，b?c?2，cosB??．

2?由余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB?9?(b?2)2?2?3?(b?2)?(?)，

12?b?7，?c?b?2?5；

31（Ⅱ）在?ABC中，QcosB??，?sinB?，

22由正弦定理有：

csinBcb?，?sinC??bsinCsinB11Qb?c，?B?C，?C为锐角，?cosC?，

1431115343． ?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC???(?)??21421475?32?53， 714【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．

16．（14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，AD//BC，

PF1PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且?．

PC3（Ⅰ）求证：CD?平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值；

PG2（Ⅲ）设点G在PB上，且?．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

PB3

【思路分析】（Ⅰ）推导出PA?CD，AD?CD，由此能证明CD?平面PAD．

（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F?AE?P的余弦值．

uuurr422r42ruuu（Ⅲ）求出AG?(，0，)，平面AEF的法向量m?(1，1，?1)，mgAG????0，

33333从而直线AG不在平面AEF内．

【解答】证明：（Ⅰ）QPA?平面ABCD，?PA?CD， QAD?CD，PAIAD?A，

?CD?平面PAD．

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解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，

AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

224A(0，0，0)，E(1，0，1)，F(，，)，P(0，0，2)，

333uuuruuur224AE?(1，0，1)，AF?(,,)，

333r平面AEP的法向量n?(1，0，0)，

r设平面AEF的法向量m?(x，y，z)，

rruuu?mgAE?x?z?0r?则?ruuu，取x?1，得m?(1，1，?1)， r224?mgAF?x?y?z?0333?rr|mgn|13?设二面角F?AE?P的平面角为?，则cos??rr?．

|m|g|n|33?二面角F?AE?P的余弦值为3． 3（Ⅲ）直线AG不在平面AEF内，理由如下：

PG242Q点G在PB上，且?．?G(，0，)，

PB333uuur42?AG?(，0，)，

33rQ平面AEF的法向量m?(1，1，?1)，

r422ruuumgAG????0，

333故直线AG不在平面AEF内．

【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额（元) (0，1000] (1000，2000] 大于2000 第12页（共18页）