高等教育出版社《离散数学》屈婉玲 - 耿素云 - 张立昂版最全答案

⑥x(F(x) →G(x)) 前提引入 ⑦F(c)→┐G(c) ⑥UI

⑧┐F(c) ⑤⑦拒取式 ⑨x┐F(x) ⑧UG

25.设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在事业中获得成功。

前提:x(F(x)→G(x))，x(G(x)∧H(x)→I(x))，a：王大海，F(a)，H(a) 结论：I(a)

证明①F(a) 前提引入 ②x(F(x)→G(x)) 前提引入 ③F(a)→G(a) ②UI

④G(a) ①③假言推理 ⑤H(a) 前提引入 ⑥x(G(x)∧H(x)→I(x)) 前提引入 ⑦G(a)∧H(a)→I(a) ⑥UI

⑧G(a)∧H(a) ④⑤合取 ⑨I(a) ⑦⑧假言推理

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第六章 集合代数

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4.(1) ③ (2) ④ (3) ⑤ (4) ⑦ (5) ⑧ 6.只有(2)为真，其余为假。

9.(1) {4}；(2) {1,3,5,6}；(3) {2,3,4,5,6}；(4) {, { 1 }}；(5) {{ 4 },{1,4}}. 11.(1)； (2) {1,4,5}.

22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)为真，其余为假。

24.(1)为真，其余为假，因为

(P-Q) = P ? (P-Q)∩Q = P∩Q ? = P∩Q (2)(3)(4)的反例：P ={1} ，Q ={2}

26.(A–B)∪(B–A) = (A∩B)∪(B∩A)

=(A∪B)∩(B∪B)∩(A∪A)∩(B∪A) =(A∪B)∩E∩(A∩B)=(A∪B)-(A∩B)

27.(1)(A-B)-C = A∩B∩C =A∩(B∪C) = A-(B∪C) (2)(A-C)-(B-C)A∩C∩(B∩C)

=A∩C∩(B∪C) = (A∩C∩B)∪(A∩C∩C) =A∩∩C=(A–B)- C

(3)(A–B-C=A∩B∩C =A∩C∩B=(A–C)–B 28.(1)A∩(B∪A) = (A∩B)∪(A∩A) =(A∩B)∪ =A∩B=B∩A

(2)((A∪B)∩A) = (A∪B)∪A =(A∩B)∪A = A

29.由第26题有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)–(A∩B)，故(A-B)∪(B-A)A∪B。假若x∈A∩B，那么

x∈A∪B，因此x(A∪B)-(A∩B),与(A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B) = A∪B矛盾. 30.AB?x(x∈A→x∈B)?x(xB→xA) ?x(x∈B→x∈A)?BA AB ? A∪AA∪B ? EA∪B

而A∪BE，因此AB ? A∪B=E反之，

A∪B = E ? A∩(A∪B)= A ? A∩B = A ? AB 综合上述，AB?A∪B = E AB ? A-B = ? A-BB

反之A-BB ? (A-B)∪BB ? A∪BB ? A∪B = B ? AB 综合上述AB?A-BB

31.任取x ,x∈A ? {x} A=>{x}∈P(A)=>{x}∈P(B)=>{x}B ? x∈B

32.先证CA∧CB ? CA∩B,任取x,x∈C ? x∈C∧x∈C ? x∈A∧x∈B ? x∈A∪B,从而得到CA∪B.再证CA∩B ? CA∧CB，这可以由CA∩BA,CA∩BB得到。 33.PQ ? P-Q= ? P-QP，反之，P-QP ? P∩(P-Q)P∩P ? P-Q= ? PQ 34.令X=，则有∪Y =，即Y = .

35.AB ? A∪AB∪A ? EB∪A因为E为全集,B∪AE综合上述B∪A=E. 36.由A∩CB∩C,A-CB-C，利用A∪CB∪D有： (A∩C)∪(A-C) (B∩C)∪(B-C)

? (A∩C)∪(A∩C)(B∩C)∪(B∩C)

? (A∩(C∪C)(B∩(C∪C) ? A∩EB∩E ? AB 37.恒等变形法

B=B∩(B∪A)=B∩(AB)=B∩(AC) =(B∩A)∪(B∩C)=(A∩C)∪(B∩C) =(A∪B)∩C=(A∪C)∩C=C

39.任取x，有x∈P(A) ? x A ? x B ? x∈P(B)，因此P(A)P(B). 40.(1)任取x有

x∈P(A)∩P(B)?x∈P(A)∧x∈P(B)?xA∧xB ?xA∩B?x∈P(A∩B) (2)任取x有

x∈P(A)∪P(B)?x∈P(A)∨x∈P(B)?xA∧xB ? xA∪B?x∈P(A∪B)

注意与(1)的推理不同，上面的推理中有一步是“ ? ”符号，而不是“?”符号。 (3)反例如下：A = {1}，B = {2}，则 P(A)∪P(B)= {,{1},{2}} P(A∪B)={,{1},{2},{1,2}}

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第七章 二元关系

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3.(1) 任取< x,y >,有

∈(A ∩ B)×(C ∩ D) <=>x∈A ∩ B ∧ y ∈C ∩ D ?x ∈A∧x ∈ B∧y ∈C∧y ∈ D ?(x ∈A∧y ∈C )∧(x∈B∧y∈D) ?∈A×C∧< x,y >∈B×D ?∈(A×C)∩(B×D)

(2)都为假,反例如下:

A ={1}, B ={1,2}, C ={2}, D ={3} 4.(1)为假,反例如下:A ={1}, B =,C = {2}; (2)为真,证明如下:任取有

∈A×(B∩C)×(C∩D)?x∈A∩B∧y∈B∧y∈C ?(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)

?∈A×B∧∈A×C?∈(A×B)∩(A×C) (3)为真,令A = 即可; (4)为假,反例如下: A = 7.={<2,2>,<3,3 >,<4,4>}

={<2 . 3>,<2,4>,<3,2>,<3,4>,<4,2>,<4,3>} ∪ LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}

9.(1){<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4> <2,6>,<4,1>,<4,2>,<4,4>, <4,6> <6,1>, <6,2>,<6,4> <6,6>} (2){<1,2>,<2,1>};

(3){<1,1>,<2,1>,<4,1>,<6,1>,<2,2>,<4,2>,<4,4>,<6,6>} (4){<1,2>,<2,2>,<4,2>,<6,2>} 12.（略）

13.A∩B = {<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}, A ∩ B ={<2,4>} domA = {1,2,3},domB = {1,2,4},dom(A ∪ B) = {1,2,3,4}

ranA = {2,3,4},ranB = {2,3,4},ran(A ∪ B) = {4},fld(A - B) = {1,2,3}

14.RR = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R= {<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} R{0,1} = {<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}] = {2,3}

18.(1)F(G∪H) = FG∪FH 任取 ,有

∈F (G∪H)?t(∈F∧∈G∪H) ?t(∈F∧(∈G∨∈H))

?t((∈F∧∈G)∨(∈F∧∈H)) ?t(∈F∧∈G)∨t(∈F∧∈H)) ?∈FG∨∈FH?∈FG∪FH

(2)和(4)类似可证 19.(2)任取y,有

y∈R[T∪W]?x(x∈T∪W∧∈R) ?x((x∈T∨x∈W)∧∈R

?x((x∈A∧∈R)∨(x∈W∧∈R)) ?x(x∈T∧∈R)∨x(x∈W∧∈R) ?y∈R[T]∨y∈R[W]?y∈R[T]∩R[W] (3)任取,有

∈F(A∩B)?x∈A∩B∈F ?x∈A∧x∈B∧∈F

?(x∈A∧∈F)(x∈B∧∈F) ?∈FA∧∈FB ?∈FA∩F B 20.(1)任取,有

∈(∪) <=>∈∪ ?∈∨∈ ?∈∨∈ ?∈∪ (2)和(1)类似可证.

21.只有对称性,因为1+1≠10,<1,1>R,R不是自反的,又由于<5,5>∈R,因此R不是反自反的,根据xRy?x+y = 10=>yRx ,可知R是对称的,又由于<1,9>,<9,1>都是属于R,因此R不是反对称的, <1,9>,<9,1>都属于R,如果R是传递的,必有<1,1>属于R.但这是不成立的,因此R也不是传递的. 22.(1)关系图如图7.15所示; (P148) (2)具有反自反性、反对称性、传递性.

26.(1)R={<3,3>,<3,1>,<3,5>}, = {<3,3>,<3,1>,<3,5>}

(2)r(R)={<1,1>,<1,5>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,5>,<5,5>,<6,6>} s(R)={<1,5>,<5,1>,<2,5>,<5,2>,<3,3>,<3,1>,<1,3>,<4,5>,<5,4>} T(R)={<1,5>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<3,5>,<4,5>}

31.(1)R = {<2,3>,<3,2>,<2,4>,<4,2>,<3,4>,<4,3>}∪；(2)R； (3)R. 32.(1)不是等价关系，因为<1,1> R，R不是自反的；

(2)不是等价关系，因为R不是传递的，1R3，3R2但是没有1R2； (3)不是等价关系，因为<2,2> R，R不是自反的； (4)不是等价关系，因为R不是传递的。 (5)是等价关系。

33．关系图如图7.17说示 (P151)

[a] = [b] ={a,b},[c] = [d] = {c,d}

38.现取x，有x∈A ? ∈R ? ∈R∧∈R ? ∈R∧∈ ? ∈R∩R