苏教版2019届高三二轮复习微专题微专题：基本不等式及其应用（教师版）

22??3??0，sin???，?sin???3??22??由?3??0，得?tan??，（?）

3?tan??????0

2?1?22?(3?)+(3?)??2 2?sin??tan???22 ?tan?sin2?=6?22(sin2??cos2?) =6??tan?2sin?cos?3?6?(tan??)

tan?3?6?23． tan?3? 当且仅当tan?=，即tan?=3，?=时取“=”．

tan?3 ≤6?2tan?此时，成立． （?）答：当?EFD??时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大， 3最大值为6?23 m2． 解法二：

设BE?t m，3

2?22?t?BP． 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即（3?BP）13?t213?t2所以BP=，NP=3?PF=3?PE=3?． （t?BP）=3?t?（23?t）（23?t）??3

2?1?13?t2?（3?t?）+（6?t）???2 2?（23?t）?3t2?30t?67 ?（23?t）2??3?6??（t?3）+?≤6?23. 2t?3??42332?3? 当且仅当（t?3），即t=3+时取“=”． =332t?3此时，成立． （?）答：当点E距B点3?23 m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大， 3最大值为6?23 m2．

【选题意图】在实际应用题中,基本不等式作为基本工具用来求最值.一般的,当实际应用题所建立的函数

模型为二元型问题或者形如y=

(a,c≠0)时,都可以用基本不等式来求解,要关注等号是否能够成立.当

等号不成立时,要用函数的单调性来求最值.

变式 一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划

为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？

解 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.

则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值． 设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tan α， 11则S△ABE＝AB·BE＝tan α.

22

1

又∠DAF＝45°－α，所以S△ADF＝tan(45°－α)．

21－tan α?11?

所以S＝[tan α＋tan(45°－α)]＝?tan α＋?. 22?1＋tan α?令x＝tan α∈(0,1)，

21?1－x?1?x－1?1?则S＝?x＋＝?x－＝x＋x＋1－1? ??2?1＋x?2?x＋1?2??211

＝?(x＋1)＋x＋1－2?≥(22－2)＝2－1. 2??22当且仅当x＋1＝，即x＝2－1时取等号．

x＋1

此时T＝2×105，

所以三个区域的总投入T的最小值约为2×105元.

【点评】1.用基本不等式解应用题的解题步骤为：

由题设建立函数模型?转化变形?利用基本不等式?求得最值?结论

2.在应用基本不等式解决问题时，要注意以下四点：(1)理解题意，设变量，求出变量范围；(2)建立相应函数模型，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案. 【课后巩固】

1. (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________． (2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 13

(1)解析 法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

5y5x13?∴3x＋4y＝(3x＋4y)??5y＋5x?

943x12y13123x12y1

＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)， 555y5x555y5x2∴3x＋4y的最小值是5.

3y法二 由x＋3y＝5xy，得x＝，

5y－11

∵x>0，y>0，∴y>，

5

1941y－?＋＋－4y13??5?5519y1395

y－? ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4?1551?5?5y－1

y－?y－5?5?5?13

≥＋25

361

＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5. 252

9－3y

(2)由已知得x＝. 1＋y法一 (消元法)

因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 9－3y

所以x＋3y＝＋3y

1＋y＝

12

＋3(y＋1)－6≥21＋y

12·31＋y

y＋1－6＝6，

12

当且仅当＝3(y＋1)，

1＋y即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6. 法二 ∵x＞0，y＞0，

11?x＋3y?2

9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，

33?2?当且仅当x＝3y时等号成立． 设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，

∴(t－6)(t＋18)≥0，

又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. 答案 (1)5 (2)6

规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． 易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致． 2. 若正数a,b满足【答案】4

1114的最小值为________． ??1，则?aba?1b?111,t? 则s?t?1 ，?1?s???1?t??1 ab1414s4t14所以， ???????1???4?11a?1b?11?s1?t?1?11?s1?tst【解析】设：s???5?144??1???5??1?s?1?t?????????1?s1?t? 1?s1?s??=

1?t4?1?s?1?t4?1?s???2?4

1?s1?t1?s1?t当且仅当

1?t4?1?s?123，即t?,s? 时，也即a?,b?3 时，等号成立． ?1?s1?t332【选题意图】巩固利用基本不等式求最值，渗透换元法、消元法等的运用．

3.如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞

）

米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影

部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．

（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x

的函数

；

（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗 m EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．m M N D M

A E N C B D A E B C （第3题）