苏教版2019届高三二轮复习微专题微专题：基本不等式及其应用（教师版）

微专题：基本不等式及其应用

【目标要求】

1.基本不等式是每年高考的重点和热点，考纲中属于C级要求. 考查的重点是利用基本不等式的求最值. 2.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 3.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．掌握应用基本不等式解决实际问题．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养． 【课前预习】

1. 已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值是________. 答案

1 16

【选题意图】通过问题设置，让学生自己体会基本不等式的作用，使我们对基本不等式求最值变得自然有效. 本题还可以消元利用配方法求解. 2. ①若x∈(0，π)，则sinx＋

4

的最小值为4；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2lga·lgb； sinx

431

x＋?≥4， ④若a，b∈(0，＋∞)，则(a＋b)(＋)的最小值为43. ③若x∈R，则??x?ab 其中正确结论的序号是________. 答案 ③

【选题意图】复习公式，熟悉“基本不等式”这个知识的适用条件.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.

11

3. 设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________.

aba(a－b) 答案4

111111

【解析】a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋ aba(a－b)aba(a－b)aba(a－b)≥2

1a(a－b)·＋2

a(a－b)

1ab·＝2＋2＝4. ab

11

当且仅当a(a－b)＝且ab＝，

aba(a－b)即a＝2b时，等号成立．

【选题意图】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然

后再利用基本不等式求解. 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．

【典型例题】

考点1利用基本不等式解恒成立问题

21

例1(1)已知x>0，y>0，且+=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ．

xy (2)设k>0，若关于x的不等式kx+【答案】(1)?4?x?2 (2) 1

4≥5在(1，+∞)上恒成立，则实数k的最小值是 . x?121214yx4yx【解析】(1)∵x?0，y?0，且??1，∴x?2y?(x?2y)(?)?4???4?2??8，当且仅

xyxyxyxy当

4yx21?，即x?2y时取等号，又??1，∴x?4，y?2，∴?x?2y?minxyxy2?8，要使x+2y>m2+2m

恒成立，只需(x?2y)min?m2?2m，即8?m?2m，解得?4?m?2，故答案为?4?m?2. (2)原不等式变为k(x?1)+

4 ≥5? k， x?14因为x>1，所以x?1>0，所以k(x?1)+ ≥4k，

x?1（k）+4k?5≥0，解得k≥1， 所以4k≥5?k，即

所以k≥1，即k的最小值为1.

【选题意图】本题考查了利用基本不等式解恒成立问题．此类问题常常利用转化与化归思想把恒成立问题

转化为最值问题，主要考查了学生分析问题和解决问题的能力．

31m

变式(1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值是________.

aba＋3b

2 (2)若对于任意x＞0，x

≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．

x＋3x＋1

21?【答案】(1) 12 (2) ??5，＋∞?

31m319ba9ba9ba

【解析】(1)＋≥，得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6. 又＋＋6≥29＋6＝12(当且仅当＝时等号

aba＋3babababab成立)，∴m≤12，∴m的最大值为12. x

(2)2＝x＋3x＋1

1

1

，因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)， 1x3＋x＋x1

则

11x11≤＝，即2的最大值为，故a≥. 13＋2555x＋3x＋13＋x＋

x

考点2利用基本不等式求最值

x2＋2

例2 (1)函数y＝(x>1)的最小值为________.

x－1

x22

(2) 设实数x，y满足－y＝1，则3x2－2xy的最小值是________.

4【答案】(1) 2＋23 (2) 6＋42 x2＋2

【解析】(1)y＝＝x?1

x2?2x＋1＋2x?2＋3(x?1)2＋2(x?1)＋33

＝＝(x?1)＋＋2≥23＋2.

x?1x?1x?1

3

当且仅当(x?1)＝，即x＝3＋1时，等号成立.

x?1

2y3?xx223x2?2xyy113?2k4(3?2k)2

(2)方法一 因为－y＝1，所以3x－2xy＝2＝，令k＝∈(－，)，则3x2－2xy＝＝，

4x21y2x22121?4k2?y?()?k44x4

再令t＝3－2k∈(2,4)，则k＝

3?t4t44，故3x2－2xy＝2＝≥＝6＋42，当且仅当t＝2228?t＋6t?86?28

?(t＋)＋6

t

时等号成立.

3x2－tx22

方法二 令t＝3x－2xy，则y＝，代入方程－y＝1并化简得8x4＋(4－6t)x2＋t2＝0，令u＝x2≥4，

2x4

2

Δ＝(4?6t)?32t≥0，??

则8u2＋(4－6t)u＋t2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由?6t?4得t2－12t＋4≥0，解得t≥6＋42，

>0，??163

当取得最小值时，u＝2＋2满足题意.

2x22xxxx1

方法三 因为－y＝1＝(＋y)( －y)，所以令＋y＝t，则－y＝，

42222t

22

?x＝t＋t，从而?11

y＝?2(t?t)，

1

4

则3x2－2xy＝6＋2t2＋2≥6＋42，当且仅当t2＝2时等号成立.

t

【选题意图】通过(1)，引导学生观察代数式的特征灵活变形，配凑出积或和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解.通过(2)，启发思维，当有定值，但是又不能直接运用基本不等式时，我们如何通过适当的变形，然后再用基本不等式来解决问题.此外，还可以继续让学生思考，不用基本不等式可以解决这个问题吗？让学生发现利用换元法和减元思想同样能达到目的，感受殊途同归，体验一题多解.

lgzlgz

变式 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则＋的最小值为_______.

4lgxlgy (2)若三角形ABC的内角满足sinA?2sinB?2sinC，则cosC的最小值是_______.

6?29

【答案】(1) (2)

84解析 (1)由题意得z2＝xy，lgx>0，lgy>0， 11

lgx＋lgylgx＋lgy

2lgzlgz2

∴＋＝＋

4lgxlgy4lgxlgy1lgy1lgx5lgylgx5

＝＋＋＋＝＋＋ ≥＋2

88lgx22lgy88lgx2lgy8

19＝， 168

lgylgx

当且仅当＝，即lgy＝2lgx，即y＝x2时取等号.

8lgx2lgy

(2)根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦转换为边，得a?2b?2c，再由余弦定理，用a,b去表示c，并结合基本不等式去解决，化简a2?b2为ab，消去ab就得出答案.

cosC?a?b?c?2ab222a2?b2?(a?2b2321223212)a?b?aba?b2222?2 ?4?42ab2ab2ab42?3212ab42?2?6?22ab44

【点评】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.

(2)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.

考点3 利用基本不等式求解实际应用题

例2 如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．

（1）当∠EFP=

?时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积； 4（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

【解答】（1）当∠EFP=

?时，由条件得 4?． 4∠EFP=∠EFD=∠FEP=所以∠FPE=

?．所以FN⊥BC， 2四边形MNPE为矩形． 所以四边形MNPE的面积 S=PN?MN=2 m2．

（2）解法一：

?设?EFD??（0

2所以PF=22， ?sin（????）sin??2， sin?? NP=NF?PF?3? ME?3?2． tan?