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（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈2.24）21cnjy.com

≈1.41，≈1.73，

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．21*cnjy*com

【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，【来源：21cnj*y.co*m】 ∵CD=12米，∠DCE=60°， ∴DE=CD?sin60°=12×

=6

米，CE=CD?cos60°=12×=6米．

∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形， ∴DE=D′E′=6米． ∵∠D′CE′=39°， ∴CE′=

≈

≈12.8，

∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．

23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成． （1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？

（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】

【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．

【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解

决问题；

（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则

+

=1，解得x=6．由此可得m

的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；21*cnjy*com

【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．

由题意，解得，

经检验是分式方程组的解，

和

．

∴甲、乙两队工作效率分别是

（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成． 则

+

=1，解得x=6．

∴甲工作6天，

∵甲12天完成任务， ∴6≤m≤12．

∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，

∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小， ∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．

24．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB； （3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=坐标为（x，﹣x﹣x+

2

：2：1．则△PEF的面积=PF2，设点P的

），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，

最后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+

．

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．

把x=0代入y=﹣x+4得：y=4， ∴A（0，4）．

将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8， ∴B（8，0）． ∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4）， ∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO=．

∴∠MAG=∠ABO．

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°． ∴l是⊙M的切线．

（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD． ∴tan∠FPE=．

∴PF：PE：EF=：2：1．

PF?

PF=PF2．

∴△PEF的面积=PE?EF=×

∴当PF最小时，△PEF的面积最小． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+

2

），则F（x，﹣x+4）． ）=﹣x+4+x2+x﹣

=x2﹣

x+

=（x﹣）

+．

．

∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为∴P（，

）．

）=

2

∴△PEF的面积的最小值为=×（

．