2017届高三月考数学（文）试卷

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（Ⅱ）依题意可设直线AB的方程为x?my?3， A?x1,y1?， B?x2,y2?，

?x2??y2?1由?4,得?4?m2?y2?6my?5?0， ?x?my?3??62???(?4?54?m?0,?6m24?,所以?y1?y2??则， x?x?my?y?6???1212224?m4?m?5?yy?,12?4?m2???

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36?4m2， x1x2?my1y2?3m?y1?y2??9?4?m22假设存在定点Q?t,0?，使得直线AQ， BQ的斜率之积为非零常数，则

36?4m2242 ?t??t?x1?t??x2?t??x1x2?t?x1?x2??t ?224?m4?m2t??2?4m2?36?24t?4t24?m2?，

所以kAQ?kBQ52y1?0y2?04?m ?2 ??22x1?tx2?tt?4m?36?24t?4t??4?m2??5， 222t?4m?36?24t?4t?要使kAQ?kBQ为非零常数，当且仅当{解得t??2，

36?24t?4t2?0,t2?4?0,55?，

36?48?164551当t??2时，常数为， ??36?48?1610020当t?2时，常数为

所以存在两个定点Q1?2,0?和Q2??2,0?，使直线AQ， BQ的斜率之积为常数，当定点为Q1?2,0?时，常数为

51；当定点为Q2??2,0?时，常数为． 420（文）21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x-x2-x+a(a∈R)在定义域内有两个不同的极值点. (1)求实数a的取值范围;

(2)记两个极值点为x1,x2,且x10,若不等式x1·>e1+λ恒成立,求λ的取值范围.

21.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由题意知,方程f'(x)=0在(0,+∞)内有两个不同根,

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即方程ln x-ax=0在(0,+∞)内有两个不同根.

转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,如图.

可见,若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k,只需0

令切点A(x0,ln x0),故k=y'又k=

,故

,

, 解得x0=e,故k=,故0

(2)因为e1+λ

由(1)可知x1,x2分别是方程ln x-ax=0的两个根,即ln x1=ax1,ln x2=ax2,

所以原式等价于1+λ0,0

又由ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得,ln=a(x1-x2),即a=所以原式等价于

,

因为0

恒成立.

在t∈(0,1)上恒成立.

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令h(t)=ln t-, 又h'(t)=,

当λ2≥1时,可见t∈(0,1)时,h'(t)>0, 所以h(t)在t∈(0,1)上单调递增,

又h(1)=0,所以h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意. 当λ2<1时,可见t∈(0,λ2)时,h'(t)>0,t∈(λ2,1)时,h'(t)<0, 所以h(t)在t∈(0,λ2)时单调递增,在t∈(λ2,1)时单调递减, 又h(1)=0,所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去. 综上所述,若不等式e1+λ

λ≥1.

21. (本小题满分12分)已知（Ⅰ）若（Ⅱ）求

，且曲线的极值；

有两个极值点， .

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当当值当

时，时，； 时，

没有极大值也没有极小值；当

.

.

时，

在

时取

在

在

;

时取到极小值时取到极大值

，

没有极大值；

时取到极小

，证明

在

，其中

.

恒成立,只需λ2≥1,又λ>0,所以

处的切线过原点，求直线的方程；

（Ⅲ）若函数

，在

到极小值在

时取到极大值