2020年 中考王 数学第一轮复习 精炼试题 (11)

第2课时 二次函数的应用 宜宾中考考情与预测

年份 近五年中考考情 考查点 题型 题号 2015～2019年未单独考查 2020年中考预测 分值 预计2020年宜宾中考，二次函数的应用进行综合考查的可能性较大，应适当加强训练. 宜宾考题感知与试做

（2018·宜宾模拟）某广告公司设计一幅周长为16 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x m，面积为S m2.

（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设计费能达到24 000元吗？为什么？

（3）当x是多少时，设计费最多？最多是多少元？ 解：（1）∵矩形的一边为x m，周长为16 m， ∴另一边长为（8－x） m，

∴S＝x（8－x）＝－x2＋8x，其中0＜x＜8， 即S＝－x2＋8x（0＜x＜8）； （2）能.理由如下：

当设计费为24 000元时， 面积为24 000÷2 000＝12（m2）， 即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6. ∴设计费能达到24 000元；

（3）∵S＝－x2＋8x＝－（x－4）2＋16，0

∴当x＝4时，矩形的最大面积为16 m2，设计费最多，最多是2 000×16＝32 000（元）.

宜宾中考考点梳理

二次函数的实际应用

1.应用二次函数解决实际问题的解题方法

（1）设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的函数； （2）列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式；

（3）定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围； （4）解：利用相关性质解决问题； （5）答：检验后写出合适的答案.

二次函数的综合应用

2.二次函数的常见题型 （1）抛物线型

解决此类问题的关键是选择合理的位置建立直角坐标系.建立直角坐标系的原则： ①所建立的直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单；

②使已知点所在的位置适当（如在x轴、y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数的解析式和之后的计算求解.

（2）结合几何图形型 解决此类问题一般是根据几何图形的性质，找自变量与该图形面积（或周长）之间的关系，用自变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意和二次函数的性质解题即可.

（3）最值型

①列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； ②配方或利用公式求顶点坐标；

③检查顶点是否在自变量的取值范围内.若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围的两端点处，根据函数增减性确定最值.

【温馨提示】解决最值问题要注意两点：（1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（或最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）最值的求解，依据配方法或者最值公式，而不是解方程.

1.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ B ）

A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m

2.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝－5x2＋20x.请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 解：（1）当y＝15时，15＝－5x2＋20x，

解得x1＝1，x2＝3.

答：飞行时间是1 s或3 s；

（2）当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4. ∴x2－x1＝4.

答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s； （3）y＝－5x2＋20x＝－5（x－2）2＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝20.

答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.

中考典题精讲精练

二次函数的实际应用

【典例1】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 … … h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 9下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时

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落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是（ B ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】由表格数据可推知，抛物线经过（0，0），（9，0），可以假设抛物线的解析式为h＝at（t－9），把（1，8）代入解析式可得a＝－1.

∴h＝－t2＋9t＝－（t－4.5）2＋20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误； 抛物线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确；

∵当t＝9时，h＝0，

∴足球被踢出9 s时落地，故③正确；

∵当t＝1.5时，h＝11.25，故④错误.

【典例2】某网店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖300件.为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价为40元.设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

【解析】（1）根据销售量y（件）与售价x（元/件）之间的数量关系即可得出结果；（2）设每星期利润为W元，构建二次函数，利用其性质解决问题；（3）列出方程并根据二次函数的图象求出售价的范围，再确定销售量即可解决问题. 【解答】解：（1）y＝300＋30（60－x）＝－30x＋2 100； （2）设每星期的销售利润为W元，依题意，得 W＝（x－40）（－30x＋2 100）＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30（x－55）2＋6 750. ∵－30＜0， ∴当x＝55时，W最大值＝6 750（元）.

即每件售价定为55元时，每星期销售的利润最大，最大利润为6 750元. （3）由题意，得－30（x－55）2＋6 750≥6 480， 解得52≤x≤58.

∵抛物线W＝－30（x－55）2＋6 750的开口向下，

∴当52≤x≤58时，每星期销售童装的利润不低于6 480元. ∵在y＝－30x＋2 100中，－30＜0，y随x的增大而减小， ∴当x＝58时，y最小值＝－30×58＋2 100＝360. 即每星期至少要销售该童装360件.

1.（2019·遂宁中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，点O恰好落在对角线AC上的点P处，反

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比例函数y＝经过点B.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解

x111

析式为y＝x2－x＋3.（填一般式）

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（第1题图） （第3题图）

2.（2019·广安中考）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球

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飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝－x2＋x＋，由此可知该生此次实心球训练的成绩为

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10m.

3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大.

4.（2019·成都中考）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求y与x之间的关系式；

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（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p＝x＋来描述.根据以上信

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息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？