高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版4讲解

1.4.3 单位圆与诱导公式

一、结论

１．函数y?sinx，y?cosx的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图

πk?Z，0)，形（关于某直线对称），y?sinx的对称中心是(kπ，对称轴为x?kπ?，k?Z．特

2π??0?，k?Z，殊地，原点是其一个对称中心．y?cosx的对称中心是?kπ?，对称轴为x?kπ，2??k?Z．特殊地，y轴是其一条对称轴．

?kπ?0?k?Z． 2．函数y?tanx的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为?， ?2?二、应用

１．正向应用

所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．

π??例１ 函数 y?3sin?2x??的对称轴方程是（ ）

3??Ａ．x?kππ?，k?Z 212

Ｂ．x?2kπ?π，k?Z 12πＣ．x?kπ?，k?Z

3解：令2x?πＤ．x?2kπ?，k?Z

3ππkππ?kπ?，得x??，k?Z． 32212故选（Ａ）．

说明：对于函数y?Asin(?x??)(A?0，??0)的对称性，可令???x??，转化为函数y?Asin?的对称性求解．

5π??π例2 由函数y?2sin3x，?≤x≤?与函数y?2，x?R的图象围成一个封闭图形，

6??6求这个封闭图形的面积．

解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形

4π?5ππ?ABCD的面积，所以封闭图形的面积S?????2?．

3?66?说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称

性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．

２．逆向应用

所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．

例３ 函数f(x)?cos(3x??)，x?R的图象关于原点中心对称，则??（ ）

Ａ．

π 3

πＢ．kπ?，k?Z

2πＤ．2kπ?，k?Z

2

Ｃ．kπ，k?Z

解：∵函数图象关于原点中心对称，且x?R， ∴函数图象过原点，即f(0)?0．

1

π?cos??0，即??kπ?，k?Z．

2故选（Ｂ）． 3．综合运用

?x??)(??0，0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点例４ 已知函数f(x)?sin(?3π??π?M?，0?对称，且在区间?0，?上是单调函数，求?和?的值． ?4??2?解：?f(x)是偶函数，

?y轴是其对称轴，即y轴经过函数图象的波峰或波谷，

?f(0)?sin???1，

π． 2?3π?0?对称， 由f(x)的图象关于点M?，4??3π?3π??3ππ??f???0，即sin??????cos??0，

4?4??42?又?0≤?≤π，???又??0，?2???(2k?1),k?0,1,2,?3当k?0时，??

3ππ??kπ?，k?01，，2…． 42

2， 3π?2?2?π?f(x)?sin?x???cosx在?0，?上是减函数；

2?3?3?2?当k?1时，??2， π???π?f(x)?sin?2x???cos2x在?0，?上是减函数；

2???2?当k≥2时，?≥10， 3π???π?f(x)?sin??x???cos?x在 ?0，?上不是单调函数．

2???2?2π或??2，??．

23

说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．f(x)的图象关于点M对综上所述，??

?3π??3π??3π??3π?称亦可转化为f??x???f??x?，再令x?0得到f????f??，再得到

?4??4??4??4??3π?f???0． ?4? 2