小学数学解题方法、思路归纳15：小学数学趣味数学问题

轻的一个是假球。再增加球的数量，一次就不能解决问题了。

允许称两次，这堆金属球的最大个数又是多少？从前面看出，称一次之后，必须从中分离出含有假球的最多3个待定球，再称一次才能达到目的。这三个待定求只有两种可能，要么在天平上，要么不在天平上。因此，称第一次时，我们应该将球分成3堆，每堆个数不多于3，这样9就是两次称量能达到目的的最大球数。

同样的道理，如果允许称3次，则第一次就应该能从中分离出9个待定球，三等分之下，三次能达到目的的最大球数恰好是27。

由此，就得到问题1的一般性结论：一堆个数不超过3n个的贵重金属球，其中一个掺有假，重量略比真球轻，用三分法，通过n次称量，一定可以从中找到假球。

三、问题2的探讨

1、在假球的重量与真球重量大小关系不明确的情形下，只称一次是不可能达到目的的。但如果有足够多的备用真球，只称一次当然可以达到目的，这时待定球的最大个数为2。

2、如果允许称两次，我们先在有足够多的备用真球的情形下来解决问题。显然称第一次，必须从中分离出至多3个待定球，按照三分法原则，这种情形只称两次达到目的的最大球数为5。办法是先用天平比较3个待定球与3个真球的重量，平衡则假球在外面两球中，此时假球与真球的重量大小不确定，再称一次可以达到目的；不平衡，则假球在称量的3个待定球中，并且假球与真球的重量大小已经明确，用问题1的三分法，再称一次一定可以达到目的。

在没有备用真球时，称两次能达到目的的最大球数只能是4。办法是，先用天平比较其中两个球，平衡则假球在剩余两球中，比较过的两球为真球，所以再称一次当然可以达到目的；不平衡，外面两球为真球，再称一次一定也能达到目的。数量超过4，两次就不能解决问题了。

3、允许称3次，我们仍然先在有足够多的备用真球的情形下讨论。称第一次后，必须达到下列目的之一：或者从中分离出9个知道假球与真球重量大小关

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系的待定球、或者5个不知假球与真球重量大小关系的待定球。这样，在这种情形下能处理的最大球数为14。第一次称量的办法是用9个真球与其中9个待定球进行比较。

在没有备用真球时，称第一次后，必须达到下列目的之一：或者从中分离出9个知道假球与真球重量大小关系的待定球、或者4个不知假球与真球重量大小关系的待定球，这种情形的最大球数是13。

第一次，比较其中8个球，即将13球分成4、4、5三堆。平衡时，假球在外面5个球中，它属于只称两次中有足够多备用球的情形，再称两次一定可以达到目的；不平衡时，往下的手段有些复杂。为了便于叙述，我们将这三堆球记为：

A?{a1,a2,a3,a4},B?{b1,b2,b3,b4},C?{c1,c2,c3,c4,c5}

不失一般性，不妨设A?{a1,a2,a3,a4}?B?{b1,b2,b3,b4}。再称一次，我们只能从中得到两种结果：一种是从中分离出假球与真球重量大小不明确的2个待定球；一种是从中分离出假球与真球重量大小明确的3个待定球，这样称第三次才能达到目的。

称第二次前，我们对上面的集合先作调整：

A1?{a1,c2,c3,c4},B1?{b1,a2,a3,a4},C1?{c1,b2,b3,b4,c5}

比较A1、B1。如果A1=B1，那么假球在b2,b3,b4中，并且假球比真球重；如果A1

a2,a3,a4是真球，假球在a1,b1中；如果A1>B1，说明交换a2,a3,a4的位置，改变了第一次称量出的大小关系，因此a2,a3,a4中有假球，并且假球比真球轻。不论哪种情形，再称一次即可达到目的。

四、问题2的深入

对于问题2，如果我们允许称n次，那么允许操作的最大球数是多少？ 随着称量次数的增多，能够处理的最大球数也在急剧的增多。称的方案也越

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来越复杂，这里只给出一般性的结论而不予以证明。 问题2：有一堆外形一致的贵重金属球，其中一个掺有假，重量与真球略有不同，但不知道比真球重还是比真球轻，用一架不带砝码的天平，只允许称n次就必须找到假球，这堆待定球的最大数是多少？应该怎样称？ 3n?1答案是在有足够备用真球时，能够处理的最大球数是；在没有备用真23n?1球时，能够处理的最大球数是 23n?1?1处理的方法是：在有足够备用真球时，将其分成3,的两堆，用3n?12n?1个真球与3n?1个待定球进行比较；在没有备用真球时，将其分成3n?1?13n?1?13n?1?1,,的三堆进行比较。 222

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