小学数学解题方法、思路归纳15：小学数学趣味数学问题

第十五讲 趣味数学问题 问题59：趣味数学问题 一、分牛问题 某个老人去世时留下一份遗嘱：将他的19头牛按照1/2、1/4、1/5的份额依次分给他的长子、次子和三子，要求既不能杀牛分肉，也不能有剩余。 分析：显然1/2、1/4、1/5这三个分数的和为19/20，也就是说如果按照分数的意义，按遗嘱分老人遗产是不能将遗产分完的，应该还剩1/20，老人的遗产正好是19头，这就提供了一个可以选择的方法：到某家借一头牛来参与分配，这样按照遗嘱的要求，长子、次子和三子分得的牛数依次是10头、5头和4头。 深思：这种分法是否合理？按照遗嘱，长子只能分19头的一半，即9头半，但他却分得了10头，多得半头，这样做算不算不折不扣地执行了遗嘱？ 严格执行遗嘱，长子、次子和三子各自分得的牛数依次为9头半、4头加四分三头、3头加五分之四头，这时应该还剩19/20头。如果严格将遗产分完，对这19/20头牛就还要按份额继续分下去。这时一个无限的过程，三个儿子分得的遗产数依次为： 19111191(1??2???n??)???10（头） 1220202021?2019111191(1??2???n??)???5（头） 1420202041?2019111191(1??2???n??)???4（头） 520202051?120所以上面的方案是合理的。 推广：这个问题的一般结构是：n个人分p件东西，各自占有的份额依次是1,k11,?,1，其中k,k,?,k都是整数，并且 12nk2kn 108

1?(1?1???1) k1k2kn是一个分数单位，将1,k11,?,1按最简公分母同分后，分子的和恰好等k2kn于p，那么就可以采用上面的方案（借一件同样东西来参与，分毕后剩余一件刚好归还）。 二、汽水瓶问题 某商店规定，用三个空汽水瓶可以换一瓶带瓶汽水，如果用买10瓶汽水的钱，最多可以喝到多少瓶汽水？ 分析：10瓶汽水的空瓶可以换3瓶（剩余一个空瓶），再将这3个空瓶换回一瓶，喝完后，手里还剩2个空瓶，向商店先賒一瓶后将3个空瓶还给商店正好相抵。所以最多可以喝到15瓶汽水。 深思：3个空瓶换一瓶汽水，扣除其中空瓶后，相当于2个空瓶可以换一瓶不带瓶的汽水，这样10个空瓶正好换回5瓶不带瓶的汽水。 推广：这个问题的一般结构是：m个空瓶换一瓶带瓶汽水，当k是m-1的倍数时，用买k瓶汽水的钱，可以买到k?三、分面包问题 甲、乙、丙三个旅游者在一个山顶相遇了，游人虽多，但四周却没有卖吃的。到了该吃午饭的时候，游人丙向甲乙二人请求说： “两位朋友，眼看就到吃午饭的时间，而我却没有带干粮。我本以为，只要有钱，在哪都不愁买不到吃的。谁知在这山顶，钱再多也没用。所以我想请二位帮个忙，我把你们的干粮全买下，当然是我们三人共同享用，算我请客了，怎么样？“ 甲乙二人一听，说道，几块面包算什么。就傾其所有：甲带了5个面包、乙带了3个。于是大家就一块平均分享了这8个面包。 吃完午餐，丙不由分说留下8块钱走了。无奈，乙只好拿了其中3块钱，留下5块给甲。因为他认为自己只出了3块面包，只应该拿3块钱，余下5块钱应

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k瓶不带瓶的汽水。 m?1该是甲的，因为甲拿出的恰好是5块面包。 3个面包确实不值一谈，但真要从数学上较起真来，我们可以从数学上提出这样一个问题：严格从数学上讲，按乙的方式分配这八元钱是否合理？ 2答案是否定的。因为3人共分享了8个面包，平均每人吃了2个面包。乙321有3个面包，自己吃了2个，只拿出个就收了3元钱；而甲有5个面包，贡331献出来的面包有2个，是乙贡献出来的7倍，却只拿到5元钱，还不足乙的两3倍。所以甲是明显吃亏了。 2正确的计算方法是：丙吃的2个面包由甲、乙二人提供的比例，这个比例3是7:1，因此应该按这个比例来分配这8元钱才算合理。这样甲拿到的钱应该是7元，而不是5元。 四、再谈平均 故事一：某水果商店进了一批西瓜，大小各300个，店主按大西瓜10元2个、小西瓜10元3个的方式卖出，得款2500元；再次进西瓜，也是大小各300个，店主想，大西瓜10元2个、小西瓜10元3个，20元正好买5个西瓜，平均4元钱一个，这次他销售的办法是，不许挑选，4元钱一个批发，卖完后发现只卖了2400元，少了整整100元，这是为什么？问题出在什么地方？ 分析：问题出在“平均”的计算上。平均数的大小除了与每个数字的大小有关外，还与参与计算的数据个数有关。不同范围内的“平均”是有差别的。 店主的“平均”只是大西瓜2个、小西瓜5个这个范围内的平均，而不是600个西瓜的“平均”。这两个“平均”要一致，只有在“两大三小”的方式正好把西瓜总数整分配组的前提下才行。由于大西瓜按这种配组方式配完后，还剩100个，当然总数的价格“平均”就要大于“两大三小”的价格平均了。这说明将取样的范围向数值大的方向扩展，平均数会升高，反之则会降低。 “平均”数是一种“削高补低”的手段，但“平均”的概念与计算方法却有好几种，通常的平均指的是“算术平均”，除此之外还有“几何平均”、“调和平均”等。如果用错“平均”的类型，就会犯错误。再看下面的例子。

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故事二：某糖果商店，称量工具只是一架天平。有一天，开业不久发现天平坏了，空盘平衡时支点不在正中。有人提议用下面的方法应急： 每次将东西分成两次称，每次称一半。比如，一个顾客要买1公斤东西，先用天平左边称0.5公斤，再用右边称0.5公斤。 你认为这个提议正确吗？如果不正确，吃亏的是商店还是顾客？ 分析：假设天平平衡时，支点偏离中心长度为x，天平两臂各长为a。称2w重的东西，左边称得的实际重量为w1，右边称得的实际重量为w2，利用力矩平衡原理有： w(a?x)?w1(a?x),w(a?x)?w2(a?x) a?xa?x4x2?)?w(2?2)?2w 于是 w1?w2?w(a?xa?xa?x2这说明结果是商店吃亏。 问题60：称球问题 一、两个原始问题 问题1：有27个外形一致的贵重金属球，其中一个掺有假，重量略比真球轻一些，用一架不带砝码的天平，只允许称3次就必须找到假球，应该怎样称？ 问题2：有13个外形一致的贵重金属球，其中一个掺有假，重量与真球略有不同，但不知道比真球重还是比真球轻，用一架不带砝码的天平，只允许称3次就必须找到假球，应该怎样称？ 二、问题1的探讨 对于问题1的情形（假球比真球轻），只允许称一次，这堆金属球的最大个数是多少？如果我们能解决这个问题，就可以找到解决的办法。 显然只有两个球时，一次一定可以找到假球；再添加一个球，一次也能找到假球。办法是天平比较其中任意两球，平衡时，没有称到的球是假球；不平衡时， 111