【配套K12】创新设计(江苏专用)2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及

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(2)设年获得总利润为R(x)万元． 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000

5 ＝－＋88x－8 000

5

12

＝－(x－220)＋1 680(0≤x≤210)．

5∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，

x2

x2

R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．

能力提升题组 (建议用时：30分钟)

11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一

定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝

15

ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标

段的造价的k倍．

(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；

(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原1

有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于，说明理由．

20解 (1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N. (2)法一 依题意x＝0.2a， 所以P＝＝≤

*

mxxykax＋

＝

k0.2aa2＋

＝

aka＋

2

aa＋

2

11＝≤

25?25???3?a＋?3×?2a×?a??

?a?

11

＝<. 3020

P不可能大于. 法二 依题意x＝0.2a， 所以P＝＝

120

mxxykax＋

＝

k0.2aa2＋

＝

aka＋

2.

12

假设P>，则ka－20a＋25k<0.

20

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因为k≥3，所以Δ＝100(4－k)<0，不等式ka－20a＋25k<0无解，假设不成立．P1

不可能大于.

20

12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调

研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：1 260

百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销

x＋1售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－bx(a，b为实常数)． (1)求函数q(x)的表达式；

(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．

2

2

?a－b·20＝60，

解 (1)当20≤x≤180时，由?

?a－b·180＝0，

1 260??x＋1，0

故q(x)＝?90－35x，20

??0，x≥180.(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，

?a＝90，

得?

?b＝35.

126 000x??x＋1，0

由(1)得f(x)＝?9 000x－3005·xx，20

??0，x≥180，

126 000x126 000

当0

x＋1x＋1又f(x)在(0,20]上单调递增，

所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000. 当20

f′(x)＝9 000－4505·x，

令f′(x)＝0，得x＝80.

当200，f(x)单调递增， 当80

综上，当x＝80元时，总利润取得最大值240 000元．

13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，

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AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5 千米，BC＝8 千米，CD＝3 千米．现甲、乙两管理员同

时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时．

(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围； (2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围． 解 (1)由题意得AD＝12 千米，

?12－16?≤1， ?6v?4??

6464解得≤v≤，

97

?6464?故乙的速度v的取值范围是?，?.

?97?

(2)设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)． 16

由于乙先到达D地，故<2，即v>8.

v5

①当0

v?2?f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝?v－v＋36?t2.

?

?

4852

因为v－v＋36>0，所以当t＝时，f(t)取最大值 ，

5v15?248??5?2

所以?v－v＋36?×??≤25，解得v≥. 54???v?513

②当5

485

vv2

f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2?t－＋9. ?

?v－6?

?

1?

因为v>8，所以

15132

<，(v－6)>0，所以当t＝时，f(t)取最大值， v－6vv1?239392?13

所以(v－6)?－＋9≤25，解得≤v≤. ?84?vv－6?1316

③当13≤vt≤16，即≤t≤时，

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f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2

因为12－6t>0,16－vt>0，所以f(t)在?13

所以当t＝时，f(t)取最大值，

?13，16?上单调递减，

??vv?

v?12－6×13?2＋?16－v×13?2≤25，解得39≤v≤39. ??v?v?84????

39因为v>8，所以8

?39?综上所述，v的取值范围是?8，?.

4??

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