第二章 导数与微分答案

1

第二章 导数与微分

一 导数

（一） 导数的概念（见§2.1）

Ⅰ 内容要求

（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式

1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）(C)??0 （2）()???x11x2 （3）(x)??12x

（4）(cosx)???sinx （5）(ax)??axlna （6）(x?)???x??1 （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求y?lnx在(1,0)点处的切线方程及法线方程。 解：y?'1x，y'(1)?k?1，所以

切线方程为y?x?1 法线方程为y??x?1 3．（6分）求y?3'xx在(1,1)点处的切线方程。

解：y?x4，y? 切线方程为y?3434?1x4，y(1)?k?'3434

x?14(x?1)?1，即y?

（ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分）

（1）若物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t)，则该物体的温度随时间的变化

速度为 T(t)

（2）若某地区t时刻的人口数为N(t)，则该地区人口变化速度为 N(t) Ⅲ 疑难题型

（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算

5. 讨论下列函数在x?0处的连续性与可导性 （1）（7分）y?|sinx|

''

解：在x?0处连续但不可导 1?xsin,x?0?x（2）（7分）y?? x?0?0,?2

解：limy?f(0)?0

x?0?xsin?x?01lim?x?x?0?limsin?x?01?x不存在，

所以f(x)在x?0处连续但不可导

?x2,?6．（8分）已知：f(x)????x,?x?0x?0，求f?(0),f?(0),f?(0),f?(x).

??解：f??(0)=limf(0?x)?f(0)?x?0x?limx?0?x?0?x??1

f??(0)?limf(0?x)?f(0)?x?0x?lim?x?0x2?0x?0，?f(0)不存在

' ?f（x）??'?2x,x?0??1,x?0

（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学） 7．（7分）设f(0)?0,f?(0)?1，求lim解：limf(2x)?f(?3x)xf(2x)?f(?3x)xf(2x)?f(0)?f(?3x)?f(0)x?0．

x?0=limx?0xf(2x)?f(0)x

=limx?0+lim?f(?3x)?f(0)xx?0 =2f(0)?3f(0)?5

8．（7分）对任取的x,y，总有f(x?y)?f(x)?f(y)，且f(x)在x?0处可导， 求证：f(x)在(??,??)上处处可导。

解：?f(x?y)?f(x)?f(y)，取x?y?0 ?f(0)?0 ?f(x)?lim?limf(?x)?f(0)?x'f(x??x)?f(x)?x'?lim?x?0f(x)?f(?x)?f(x)?x?x?0

?x?0?f(0) 即f(x)在(??,??)上处处可导。

（二） 初等函数求导（见A §2.2, §2.3）；（B §2.2）

3

Ⅰ 内容要求

（ⅰ）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。 （ⅱ）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数n阶导数

的一般表达式。 Ⅱ 基本题型

（ⅰ）初等函数一阶及二阶导数的计算题型 9. 求下列函数的一阶导数（每题4分）

（1）y?2x?x2， y'?2x?x2ln2?2x?1?x （2）y?3excosx y'?3ex(cosx?sinx)

xlnx2xx?2?lnx2xx（3）y?lnxx y?'x?，

（4）y?arcsinxarccosxarccoxs.11?x2?2arcsixn1?x2 y?'(arccoxs)?arcsixn?arccoxs1?x(arccoxs)22

??21?x(arccoxs)22

（5）y?2x y'?2xln2?2x?2x?x2222?1x?ln2

（6）y?ecos6x y??'12e?x2(cos6x?12sin6x)

（7）y?arctanx?1x?1 y?1?('1x?1x?1)2?(x?1)?(x?1)(x?1)2??1x2?1

（8）y?ln(x?x?a)，y?x?22'1x2?a2(1?xx2?a2)?x12?a2

10. 求下列函数在给定点处的函数值（每题6分） （1）???sin??12cos?，求

d?d????4

解：

d?d??sin???cos??12sin???cos??12sin?

d?d????44

?2?8?24?28(2??)

（2）y?x?x，求y?(1).

1?12x?x?解：y'?2x?14x1，y'(1)?x328

2x?x?（3）y?11?|sinx|1?|sinx|1，求y?(?3). 1解：?x?(0,?2)，?y?1?sinx'?1?sinx2?2sec2x 3

y'?4sec2xtanx，y(?3)?4sec?3tan?3?16（4）y?ln(secx?tanx)，求y?(解：y??6'?6).

21secx?tanx(secxtanx?secx)?secx

y'()?sec?6?233

11. 求下列函数的二阶导数（每题7分） （1）y?1x?lnx y??x''?2?x?1，y\?2x?3?x?2

2（2）y?tanx y?secx，y?2sece2x'2\xtanx

2x（3）y?x y?2xe2x?e22xx'，y?\e(4x2?4x?2)x3

（4）y?ln(x?a) y?222xx?a22，y?\2(a?x)(x?a)22222

（5）y?ln1?x1?x y'??1?11?1 ??2??2?1?x1?x?x?1?2xy?\(x2?1)'2 1x2（6）y?ln(x?

x?a)，y?22?a2，y?(x2\?x3

?a)22