（京津鲁琼专用）2020版高考数学专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质练典型习题提数学素养

第1讲 三角函数的图象与性质

一、选择题

π3π

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的

44极值点，则ω＝( )

A．2 C．1

3B． 21D． 2

2π3ππ

解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，

ω44选A.

π??2．(2019·昆明市诊断测试)函数y＝sin?2x－?图象的一条对称轴的方程为( ) 3??π

A．x＝

12πC．x＝

3

解析：选D.由题意，令2x－

πB．x＝

65πD．x＝

12

ππ5πkπ

＝＋kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，32122

π?5π?当k＝0时，函数y＝sin?2x－?图象的一条对称轴的方程为x＝.故选D. 3?12?

?xπ?3．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan?－?的单调递增区间是( )

?26?

2π4π??A．?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z 33??2π4π??B．?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z 33??2π4π??C．?4kπ－，4kπ＋?，k∈Z 33??2π4π??D.?4kπ－，4kπ＋?，k∈Z 33??

πxππ2π4π

解析：选B.由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得2kπ－

2262332π4π??xπ??函数f(x)＝tan?－?的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z，故选B.

33??26??

4．(2019·济南市学习质量评估)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x

－3sin 2x的图象( )

π

A．向左平移个单位长度

6π

B．向右平移个单位长度

6π

C．向左平移个单位长度

3π

D．向右平移个单位长度

3

π????π??解析：选B.因为y＝cos 2x－3sin 2x＝2cos?2x＋?＝2cos?2?x＋??，所以要得到函3?6?????π

数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－3sin 2x的图象向右平移个单位长度，故

6选B.

π

5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图

2

?π?象如图所示，点A(0，3)，B?，0?，则函数f(x)图象的一条对称轴为( ) ?6?

π

A．x＝－ 3πC．x＝

18

π

B．x＝－

12πD．x＝

24

解析：选D.因为函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝

3πππ

，所以φ＝2kπ±(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝±，由函数f(x)的图2626

φππ

象知<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos(ωx－)．因为f(x)＝

ω66π（ω－1）π（ω－1）ππ?π?2cos(ωx－)的图象过点B?，0?，所以cos＝0，所以＝mπ＋6662?6?ππ

(m∈Z)，所以ω＝6m＋4(m∈Z)．因为ω>0，>，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f(x)

ω6π?ππ?＝2cos?4x－?.因为x＝时，f(x)＝2，所以x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D. 6?2424?

π

6．(2019·福州市质量检测)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)图象的相邻

2

ππ

两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的

23

?π?图象．若函数g(x)为偶函数，则函数f(x)在区间?0，?上的值域是( )

2??

?1?A．?－，1?

?2?

C．(0，2]

B．(－1，1) D．(－1，2]

π2π

解析：选D.由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得T＝π，又ω>0，所以2ω＝π，解得ω＝2.将函数f(x)的图象向左平移

π

个单位长度后，得到函数g(x)＝3

2π2ππ??2sin?2x＋＋φ?的图象．因为函数g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，由332??π?ππ?|φ|<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin?2x－?.

6?26?

π?π1??π?因为0

6?2?22??2]，故选D.

π???π?7．(一题多解)(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2sin?ωx＋?在区间?0，?上

4?8???单调递增，则ω的最大值为( )

1

A． 2C．2

B．1 D．4

π?πωππ??π?＋?，因为f(x)＝解析：选C.法一：因为x∈?0，?，所以ωx＋∈?，8?84?4?4?π??π?ωπππ?2sin?ωx＋?在?0，?上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2，

4??8?842?故选C.

法二：逐个选项代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)

?π?在?0，?上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C. 8??

8．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sinx－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )

πA．

43πC．

8

πB．

2D．π

2

π?ππ?解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?，由－＋2kπ≤2x－4?24?ππ3ππ3π

≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤，即函数28888

?f(x)在?－，π

?83π?3π

上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0

3π

的最大值为，故选C.

8

?π?9．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，若f?－x?＝f(x)，且?3?

f(π)>f??，则f(x)取最大值时x的值为( )

2

π

A．＋kπ，k∈Z

3π

C．＋kπ，k∈Z

6解析：选C.由f?

π

B．＋kπ，k∈Z

4π

D．－＋kπ，k∈Z

6

?π???

?π－x?＝f(x)得f(x)的图象关于直线x＝π对称，即当x＝π时，f(x)

?66?3?

πππ?π?所以sin(2π

取得最值，所以2×＋φ＝nπ＋，n∈Z，φ＝nπ＋，n∈Z.又f(π)>f?? ，

626?2?＋φ)>sin(π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n∈Z，且n为偶数．不妨取nππππ

＝0，即φ＝，当f(x)取最大值时，2x＋＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，

6626故选C.

π??10．(2019·广东六校第一次联考)已知A是函数f(x)＝sin?2 018x＋?＋

6??π??cos?2 018x－?的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)

3??成立，则A|x1－x2|的最小值为( )

π

A． 2 0182πC． 1 009

πB． 1 009πD． 4 036

π?π?31??解析：选B.f(x)＝sin?2 018x＋?＋cos?2 018x－?＝sin 2 018x＋cos 2 018x6?3?22??π?13?＋cos 2 018x＋sin 2 018x＝3sin 2 018x＋cos 2 018x＝2sin?2 018x＋?，故A＝f(x)max

6?22?＝2，f(x)的最小正周期T＝

2ππ

＝.又存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有2 0181 009