岩土工程设计计算理论（1~3章）

diO?iHi?1n-1nn-1nR3011223Pi?1PihiHibihi?1iWiliTi?iNi （a）条块划分 （b）条块受力 图3-16 条块的划分及条块上的作用力

作用在i条块上的力有：自重Wi、滑面上的切向力Ti和法向力Ni、与左（右）相邻块之间的水平作用力P（及竖向作用力H（，作用点距滑面的铅垂距离为h（，iPi+1）iHi+1）ihi+1）这样，若共有n个条块，则待求量的个数为：

（1）从第1到第n-1，共n-1个作用面，每个面上3个待求量（Pi、Hi、hi），共3（n-1）个未知量。

（2）n段滑面，每个面上2个待求量（Ni、Ti）及其作用点的位置。若假设合力作用点的位置处在该段滑面的中点，则共用2n个未知量。

（3）稳定性系数Fs。 故未知量的总数为5n-2。 而求解时可列出的方程数为：

（1）n个条块，每个条块可列3个平衡方程，共3n个方程。

（2）n段滑面，失稳时滑面上的切向力处于极限状态，每段可列1个极限方程，故共可列n个方程。

（3）对条块1，其左边界上的水平力等于0，即P0=0；对条块n，其右边界上的水平力等于0，即Pn=0；故可补充2个方程。

这样，方程的总数目为4n+2个。由此可知，未知量的总数比方程数多出n-4个。通常，采用条分法计算时，条块的数量远大于4，因此无法解出相应的未知量。为解决这一矛盾，从理论上讲，应补充建立条块之间的变形协调方程，但这将使计算变得非常复杂。而在实际应用时，则是通过引入一些假设来减少未知量的数目，进行简化计算。按其简化方法的不同，求解方法可分为瑞典圆弧滑动法（Fellenius法）、Bishop法、普遍条分法（Janbu法）、Spencer

法、Morgenstern-Price法、Sarma法等。下面分别以其中较为简单的瑞典条分法及较为复杂的Morgenstern-Price法为例，对条分法的计算原理进行介绍。 3.4.2 瑞典条分法

这是条分法中最古老和最简单的一种。计算时，假设滑动面为圆弧面，如图3-16（a）所示。为解决未知量多于方程数的矛盾，假设条块两侧的作用力大小相等，方向相反，并且作用在同一水平位置，从而在计算时相互抵消，因此，对块体的平衡不产生影响。

?iNiWiWiTiTi?iNiWisin?i 图3-17 瑞典条分法条块受力图

第i块的受力简图示于图3-17。由此，很容易得出法向力

Ni?Wicos? i （3-25）

处于极限状态时，滑面上的切向力为

Tfi?cili?Nitan?i （3-26）

式中粘聚力和内摩擦角加下标表示为ci、?i，是因为滑面可能穿过不同土层。由于滑动面为圆弧形，故Ni对圆弧中心不产生力矩，而条块自重Wi产生下滑力矩

Ms??Wd??WRsin?iiii?R?Wisin? （3-27）

滑面上的切向力Ti能提供的最大抵抗力矩为

MR??TfiR??(cili?Nitan?i)R??(cili?Wicos?itan?i)R （3-28）

故坡体的抗滑安全系数

Fs?MR?(cili?Wicos?itan?i) （3-29） ?MS?Wisin?i式（3-29）中将坡体的抗滑安全系数定义为最大抵抗力矩与下滑力矩的比，这对圆弧形滑面来说比较合理，但无法用于非圆弧形滑面。为此，Bishop等将抗滑安全系数定义为

Fs??f （3-30） ?即滑面上一点的抗剪强度与实际剪应力之比，从而可用于非圆弧滑面的稳定性分析。

对条分法，式（3-30）可表示为

Fs?以下按此定义确定坡体的安全系数。

?fiTfi? （3-31） ?iTi按照式（3-30）的定义，第i条块滑面上的剪力为

Ti?且有

所产生的抵抗力矩为

TfiFs?cili?Nitan?i （3-32）

liFsMR由力矩平衡方程

(cl?Wcos?tan?)R? （3-33） ?iiiiiFsMR?MS?0

并将式（3-33）及式（3-27）代入式（3-34），最终得到

Fs与式（3-29）的结果完全相同。

(cl?Wcos?tan?)? ??Wsin?iiiiiii当考虑孔隙水压力对抗剪强度的影响时，滑面上的方向应力中应减去相应的孔隙水压力u，而相应的强度指标应采用对应于有效应力的强度指标，其计算公式变为

Fs??[c?l?(Wcos??ul)tan??] （3-34）

?Wsin?iiiiiiiii注意到，按式（3-32）所确定的Ti一般并不等于使i条块处于平衡状态的值Tisin?i，即条块的平衡方程实际并未得到满足，说明对瑞典条分法来说，待求量的个数小于应满足的条件，这与前面所介绍的“条分法中未知量的数量大于应满足的受力条件”的情况刚好相反，其原因就是因为瑞典条分法中，对条块的受力作了过度的简化（例如，忽略了条块之间的作用力），大大减少了未知量的数目，造成未知量的个数远小于应满足条件（求解方程）数量的情况。虽然如此，但该法计算简便，在长期的应用过程中积累了丰富的经验，且得到的安全系数一般较低而偏于安全，故该法目前仍是工程上常用的方法之一。

由式（3-29）得到的是沿某个可能滑面滑动时的安全系数，为了确定最危险滑面，还需针对不同的可能滑面进行试算，其中抗滑安全系数的最小值即为边坡的安全系数，所对应的滑面即为最危险滑面。 3.4.3 Morgenstern-Price法

该法适用于任意形状剪切滑动面的边坡的稳定性。

如图3-18所示，为建立其求解方程，在坡体上取宽度为dx的微条块进行分析，其受力情况为：

（1）作用于两侧的法向合力：法向有效应力E’（E’+ dE’）、孔隙水压力U（ U+dU），所对应的合力作用点的竖向坐标函数分别为y1=y1(x)、yu= yu (x)；

（2）作用于两侧的剪应力的合力：X（X+dX）；

（3）作用于滑面上的合力：法向有效应力dN’、孔隙水压力dUs、切向力dN；假设滑面的竖向坐标函数为y=y (x)；

（4）条块自重dW；

xy孔向隙压水用作线x)u(yyu=侧有效侧压力作用线y1=y1(x)剪切破坏面y=y(x)