（甘志国）用函数观点求解数列问题

用函数观点求解数列问题

甘志国(该文已发表 中学数学研究(广州)，2011(9)：46-47)

首先约定，本文中的字母均在复数范围内取值. 由等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d，得

定理1 (1)公差为d的等差数列?an?的通项公式是n的形式上的一次函数

an?dn?B；

(2)?dn?B?是公差为d的等差数列. 由等差数列的前n项和公式Sn?na1?n(n?1)d，得

2定理2 (1)公差为2A的等差数列?an?的前n项和Sn是n的形式上的缺常数项二次函数Sn?An2?Bn；

(2)若数列?an?的前n项和Sn?An2?Bn，则?an?是公差为2A的等差数列. 由等比数列的通项公式an?a1qn?1，得

定理3 (1)公比为q的等比数列?an?的通项公式是an?Aqn(Aq?0)的形式； (2)Aq(Aq?0)是公比为q的等比数列.

??n?na1?由等比数列的前n项和公式Sn??a1(1?qn)?1?q?(q?1)(q?1)，得

定理4 (1)公比为q(q?1)的等比数列?an?的前n项和是Sn?Aqn?A(q?1)的形式；

(2)若数列?an?的前n项和Sn?Aqn?A(A?0,q?0、则?an?是公比为q的等比数1)，列.

定理5 设数列?an?是等差数列或等比数列，数列?an?的前n项和为Sn?f(n)，则

f(0)?0(可记作S0?0).

证明 由定理2知，当?an?是等差数列时成立；由等比数列的前n项和公式的两种情形(q?1和q?1)知，当?an?是等比数列时也成立.

以上结论就是由函数的观点得到的结论，用这些结论解某些数列题可大大简化运算，下面举例说明.

例1 在等差数列?an?中，若ap?q,aq?p(p?q)，求ap?q的值.

解 由定理1知，可设an?dn?B，所以点(n,an)是直线l上的点，且直线l过两点

(p,q),(q,p).由“两点确定一直线”得l:x?y?p?q，所以直线l还过点(p?q,0)，得

ap?q?0.

例2 若等差数列?an?满足an?1?an?p(p是常数,n?N)，求证?an?是常数列.

22?证明 由定理1知，可设an?dn?B，得

an?1?an?(dn?d?B)2?(dn?B)2?d(2dn?d?2B)?p(n?N?)

所以d?2d?0,d?0,an?B，即?an?是常数列.

例3 是否存在等差数列?an?满足?1/an?也是等差数列？

解 因为?an?是等差数列，所以由定理1知，可设an?dn?B.

22?1?1又?也是等差数列，所以可设?d?n?B?.?an?an?得

1?d?n?B?(n?N?)，所以d?d??0,B?0.

dn?B即当且仅当?an?是非零常数列时满足题意. 例4 设等差数列?an?的前n项和是Sn. (1)若Sn?n2?n/2，求通项公式an； (2)若S10?100,S100?10，求S110.

解 (1)由定理2，得a1?S1?3/2,d?2A?2，所以

an?a1?(n?1)d?3/2?2(n?1)?2n?1/2

(2)由定理2知，可设Sn?An?Bn，得

211?A???S10?100A?10B?100??100 ???S100?10000A?100B?10,?B?111?10?Sn??112111n?n,S110??110

10010例5 设等差数列?an?的前n项和是Sn，由以下条件分别求Sp?q的值： (1)Sp?p,Sq?q(p?q)； (2)Sp?Sq(p?q).

解 由定理2知，可设Sn?An2?Bn.

(1)得f(x)?Ax?Bx的图象过直线f(x)?x上的三个不同点(0,0),(p,p),(q,q)，而抛物线不能经过同一条直线上的三点，所以A?0,B?1,Sn?n，得Sp?q?p?q.

(2)若A?0，由Sp?Sq(p?q)可得Sn?0，所以Sp?q?0.

若A?0，由Sp?Sq(p?q)可得抛物线f(x)?Ax2?Bx的对称轴是直线

2x?p?q，所以f(p?q)?f(0)?0，Sp?q?f(p?q)?0.

2例6 设等差数列?an?的前n项和是Sn，由下列条件分别求出Sn取最大值时对应的n： (1)a1?0,S4?S12；

(2)已知a3?0,S12?0,S13?0.

解 可设Sn?An2?Bn(公差d?2A).

(1)若A?0，得Sn?Bn，又S4?S12，得B?0,Sn?0,an?0，这与a1?0矛盾！ 若A?0，得公差d?0，又a1?0，得?an?的各项均是正数，S4?S12，这与S4?S12矛盾！

2所以A?0，函数f(x)?Ax?Bx的图象是开口向下的抛物线，由S4?S12知

f(4)?f(12)，所以此抛物线的对称轴是直线x?4?12?8，函数f(x)的最大值是f(8).2?而点(n,Sn)(n?N)是此抛物线上的点，所以当且仅当n?8时Sn取最大值.

(2)若A?0，得d?0，?an?是常数列，an?a3?0,Sn?na3?0，这与S13?0矛盾！

若A?0，得公差d?0，又a3?0，得a13?a3?10d?0,S13?S12?a13?0，这与S13?0矛盾！

所以A?0，函数f(x)?Ax2?Bx的图象是开口向下的抛物线，且两个零点是

0、t(12?t?13)，所以此抛物线的对称轴是直线x?n?6时Sn取最大值.

t?t??6??6.5?，所以当且仅当2?2?例7 求出所有的即是等差数列又是等比数列的数列?an?. 解 由定理1、3，得

an?dn?B?Aqn(Aq?0,n?N?)

所以d?0,q?1,B?A，即满足题意的数列?an?是非零常数列.

例8 (普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版) (下简称《必修5》)第68页第2(1)题)如果三个不全相等的非零实数a,b,c成等差数列，那么

111,,能够成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？ abc解 与《必修5》配套使用的《教师教学用书》第66页给出的解答是：

不成等差数列.可以从图象上解释.因为a,b,c成等差数列，所以可设其通项公式为

111y?pn?q(p?0)，且点(1,a),(2,b),(3,c)位于同一直线上，而数列,,的通项公式

abc为y?数列.

例9 设公比为q的等比数列?an?的前n项和是Sn，若?Sn?是等差数列，求q. 解 当q?1时，Sn?na1，满足题意. 当q?1时，由定理4、1，得

1111?1??1??1?，所以点?1，?，?1，?，?1，?不可能在同一直线上，即,,不能够成等差

abcpn?q?a??b??c?Aqn?A?dn?B(q?1,n?N?)

而此结论不可能成立.所以q?1.