[推荐]数学花园探秘六年级初赛讲义

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第二讲数论专题

一、整除

【1】（2008年迎春杯初赛六年级第7题）

已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是 ．

【2】（2012年迎春杯初赛六年级第5题）

一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101。如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABCD＝________．

【3】（2009年迎春杯初赛五年级第8题）

将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是 ．

二、质数与合数

111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37

2011是质数；2012?22?503；2013＝3×11×61；2014＝2×19×53；2015＝5×13×31；2016?25?32?7

【4】（2010年迎春杯初赛六年级第5题）

用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．

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【5】小于200且与200互质的所有自然数的和是 ．

三、因数与倍数

【6】（2010年迎春杯初赛六年级第7题） 有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是______．

【7】（2015年迎春杯初赛六年级第5题）

1一个正整数A除以3!后所得结果的因数个数变为原来因数个数的，那么符合条件的A最小

3是 ．

【8】（2011年迎春杯初赛六年级第9题）

一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是 ．

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【9】（2013年迎春杯初赛六年级第7题）

四个不同的自然数和为2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是 .

四、平方数

1.平方数的性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。 性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数?．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现

的次数都是偶数次.

性质4：若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。 2.一些重要的推论

（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方

数。

（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，

56，76，96。

（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 （5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 （6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

（7）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；

个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 （8）完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

3.特殊平方数

332?1089 992?9801 这两个完全平方数顺序相反 382?1444 后三位相同

612?3721 682?4624 “符合乘法口诀”的完全平方数

882?7744 前两位与后两位相同的完全平方数，还有一个有趣的等式：882?332?8833

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