宁波大学高数期末练习题

1.设

??1?sinx,x?0f(x)??x6?k,x?0? 在x?0连续，k为实数，则k=

2．曲线exy?2x?y?3,此曲线在纵坐标y?0点处的切线方程是

3.设x?0时，etanx?ex与xn是同价无穷小，则n?

t2?x?f(u)dudy??04. 设?，则?

22dx??y?(f(t))

5．广义积分???0xe?x2dx=

1. 设f(x)可导，y?f(lnx)lnf(x)，则dy=（ ）. 2. y?2x的n阶麦克劳林公式中xn项的系数是____________________. 3. ?1?1?x?x2007?e??x2dx?_____________________________________. dx4．广义积分???x?2x?22= ________________________________.

5．在平面XOY内的曲线y2?2x绕X轴旋转一周而成的旋转曲面的方程是 ___________________.

1?2?xsin,x?01. f(x)??在x?0处（ ） x?0,x?0?A.不连续 B.连续，不可导 C.连续，且可导 D.可导，且导数也连续 2. 已知F(x)是函数f(x)??411?x2的原函数，且F(1)=?,则F(x)= （ ）

?2 A: arcsinx? B: arcsinx C: arcsinx?11?e1x D: arcsinx??

3.x?0是函数f(x)?的（ ）

A: 第一类跳跃间断点 B: 第一类可去间断点 C: 第二类无穷间断点 D: 连续点 4．设点（0，1）是曲线y?ax?bx?c的拐点，则有（ ）

32A. a?1,b??3,c?1 B. a为任意值,b?0,c?1 C. a?1,b?0,c为任意值 D. a,b为任意值，c?1 5.直线

x?3?2?y?4?7?z3和平面2x?y?z?3的位置关系为

A.直线与平面平行且直线在平面上 B. 直线与平面平行 C. 直线与平面垂直相交 D. 直线与平面相交但不垂直

1. 当x?0时,x?sinx是 ( ). A. 比x2低阶的无穷小 B. 比x2高阶的无穷小

C. 与x2同阶的无穷小 D. 与x2同阶但非等价的无穷小 2.设在[0，1]上f??(x)＞0， 则下列正确的是（ ）.

?0）＞f(1)?f(0) B. f?(1)＞f(1)?f(0)＞f?(0) A. f?(1)＞f（C. f(1)?f(0)＞f?(1)＞f?(0) D. f?(1)＞f(0)?f(1)＞f?(0) 3.设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?A. 在x?0处左极限不存在 B.有跳跃间断点x?0 C. 在x?0处右极限不存在 D.有可去间断点x?0 4．设f(x)连续,F(x)?f(x)x（ ）.

?ex?xf(t)dt, 则F?(x)?( ).

A. ?e?xf(e?x)?f(x) B. ?e?xf(e?x)?f(x) C. e?xf(e?x)?f(x) D. e?xf(e?x)?f(x) 5.设有直线L:??x?3y?2z?1?0?2x?y?z?3?0及平面?:10x?6y?1z4??3,则直线

L( ).

A.平行于? B.在?上 C.垂直于? D.与?斜交

三. 求解下列各题(每小题5分,共计30分) 1. limln?cosx??xxsinx12

x?02. lim?2sinx?cosx?x

x?03.设y?ln(ex?1?e2x)?(sinx)x,求y?

4. 计算?x3sinx2dx

?1,x?0?2?5. 设f(x)??1?x, 计算?f(x?1)dx.

0?1,x?0?1?ex?6. 求直线l:??x?y?1?0,?y?z?1?0.在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程.

四. 求解下列各题(7+10+10=27分)

1.设函数y?y?x?是由方程x2?y2?yexy?2所确定的隐函数,求曲线y?y?x?在点?0,2?处的切线方程.

2. 在区间?1,e?上求一点?,使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，并求出此最小值.

Yy?lnx1O1?eX3.求函数y?x?1x2的单调区间、极值、曲线的凹凸区间、拐点和渐近线(要求列表

讨论).

五. 证明题(8+5=13分) 1. 求证 当0?x??2时, 3sinx?2tanx?5x.

2. 设f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, f(0)?使得f?(?)?f(?).

证明题（满分12分，6+6）

?10e?xf(x)dx, 证明???(0,1),

1.设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)?0，f(a)g(b)?g(a)f(b)试证至少存在一点??(a,b),使f?(?)g(?)?f(?)g?(?) 。

2.设f??(x)＜0,f(0)?0,证明：当0＜a?b时，有f(a?b)＜f(a)?f(b)

三.计算题(满分35分,每小题5分)

1．求极限limx(x????2?arctanx)

2. 已知函数y?

3. 设由方程xy?ysinx可确定y?y(x)，求4. 求不定积分??a?x22?xarcsinxa,(a＞0)，求dy

dydx。

arcsinxxdx

5.计算定积分?40tgxlncosxdx

?y?z?1?0?x?2z?06.在平面?:x?y?z?1?0内，求作一直线L，使它通过直线L1:?的交点，且与L1垂直，求此直线L的方程。 四．应用计算题（满分28分，8+8+12）

与平面?1.求曲线y?x(0?x?4) 的一条切线，使此切线与直线x?0,x?4及

x轴所围成的梯形面积最小。

2． 求函数f（x）?ln(1?x)的马克劳林展开式（带有拉格朗日余项）

3.列表表示函数f(x)?x2?近线。

1x的单调性、极值、曲线凹凸及拐点，并求其曲线渐

1. lim(1?x?x2?1?x?x2)? （ ）。

x??A．-1 B. 1 C. 不存在 D. 0

2. 设当x?x0时，?(x)与?(x)都是无穷小量(?(x)?0),则当x?x0时，下列表达式不一定是无穷小量的是（ ）。 A．

?(x)?(x)2 B. ?2(x)??2(x)sin1x C. ln(1??(x)?(x)) D.?(x)??(x)

3. 若函数f(u)可导,y?f(2ex?3x2)，则有（ ）

A. dy?f?(2ex?3x2)dx B. dy?f?(2ex?3x2)d(2ex?3x2) C. dy?[f(2ex?3x2)]?d(2ex?3x2) D. dy?f?(x)d(2ex?3x2)