函数与极限练习题

三、研究下列函数在x?0处的左、右极限，并指出是否有极限：

(1)f(x)?|x|； x

?1?x,x?0?(2)f(x)??0 ,x?0

?1?x2,x?0?三、 用极限的定义证明：lim (x?6x?10)?2

x?22

§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则

一、举例说明(当x?0时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷

大量。

二、求下列数列的极限：

(1)lim (n??12n?1????)= 222nnn5n?1?6n?1(2)lim n= n??5?6n111(?1)n?1???n?1)= (3)lim (1???n??39273三、求下列函数的极限：

(1)lim x?1x?1= x?1(x?h)3?x3(2)lim = h?0h(3)lim (x(x?a)?x)=

x???(4)lim (x?113?)= 1?x1?x3(1?a)x4?bx3?2??2，求a,b。 四、设lim 32x??x?x?1

§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8 无穷小的比较

一、 求下列极限：

(1) lim xsinx??3= xsin2x?sin2a(2)lim = x?ax?a(3)lim x?0sin4x1?x?1=

?x?4?(4)lim ??x??x?1??x?1=

(5)lim ??= x?0?1?x?1?1?x?x二、用极限存在准则求证下列极限：

(1)设ai?0(i?1～m),M?max{a1,?,am}；证明：

limna1?a2???am?M

n??nnn(2)设x1?3，xn?1?3(1?xn)(n?1,2,?)。证明此数列收敛，并求出它的极限。

3?xnk三、确定k的值，使下列函数与x，当x?0时是同阶无穷小：

(1)

1?1?x； 1?x5

(2)3x2?4x3； (3)1?tgx?1?sinx。 四、已知lim x?1x?a?b?1，求a和b. 2x?1 。

三、用极限定义证明：

(1) 若xn?a(n??)，则对任一自然数k，也有xn?k?a(n??)；

(2) 若xn?a(n??)，则|xn|?|a|(n??)，并举例说明反之未必成立； (3) 若|xn|?0(n??)，则xn?0(n??)。 四、 设数列{xn}有界，又lim yn?0，证明lim xnyn?0。

n??n??

§9 函数的连续性与间断点

一、当x?0时下列函数f(x)无定义，试定义f(0)的值，使f(x)在x?0连续：

(1)f(x)?1?x?131?x?1(2)f(x)?sinx?sin1。

x(1)f(x)?；

二、指出下列函数的间断点并判定其类型：

1?x； 1?x3x2?x(2)f(x)?； 2|x|(x?1)

?1?(3)f(x)??ex?1?ln(1?x)?x?0。 ?1?x?0ex?b三、确定a和b，使函数f(x)?有无穷间断点x?0；有可去间断点x?1。

(x?a)(x?1)四、设函数f(x)在(??,??)上有定义，且对任何x1,x2有

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，

证明：若f(x)在x?0连续，则f(x)在(??,??)上连续。

§10 连续函数的运算与初等函数的连续性

§11 闭区间上连续函数的性质