函数与极限练习题

第一章 函数与极限

§1 函数

一、一列火车以初速度v0，等加速度a出站，当速度达到v1后，火车按等速运动前进；从

出站经过T时间后，又以等减速度2a进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v与时间t的函数关系式；

(2) 作出函数v?v(t)的图形。

二、 证明函数y?x在(??,??)内是有界的。 2x?1三、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)?xsin21 x；

2x?1(2)f(x)?x；

2?1

(3)f(x)?ln(x?x2?1)。

四、 证明：若f(x)为奇函数，且在x?0有定义，则f(0)?0。

§2 初等函数

一、 设f(x)的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域：

(1)f(ex)；

(2)f(lnx)；

(3)f(arcsinx)；

(4)f(cosx)。

二、(1)设f(x)?xln(1?x)，求f(e2?x)；

2(2)设f(x?1)?x?3x?2，求f(x)；

(3)设f(x)?11}。(x?0,x?1) ，求f[f(x)]，f{1?xf(x)三、设f(x)是x的二次函数，且f(0)?1，f(x?1)?f(x)?2x，求f(x)。

?2?x,四、设f(x)???x?2,?x2,x?0，g(x)??x?0??x,x?0，求f[g(x)]。 x?0§3 数列的极限

一、 写出下列数列的前五项

(1)xn?1sinn3； 3n

(2)xn?1n?12?1n?22???1n?n2；

(3)x2n11(?1)n?1????，x2n?1?。

2nn1?(?1)n二、已知xn?，用定义证明：limxn?0

n??n

§4 函数的极限

2x2?2?4。 一、用极限的定义证明：lim x?1x?1二、用极限的定义证明：lim x??6x?5?6。 x