平面向量基本概念与运算法则（含基础练习题）

平面向量1 1.数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a,b等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。

3.有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别：

⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a与b相等，记作a=b；

⑵零向量与零向量相等；

⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

6.平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；

b、c平行，记作a//b//c。 ⑵向量a、二、向量的运算法则

1.向量的加法

三角形法则 四边形法则 某人从A到B，再从B到C，则两次的位移和：AB?BC?AC；

⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：a?b?AB?BC?AC

⑶四边形法则：a?b?OA?OB?OA?AC?OC

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（AB?BC）?CD （2）(AB?MB)?BO?OM （3）OA?OC?BO?CO 练习：化简（1）

2.向量的减法

⑴相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作?a。

①?(?a)?a；

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：a?(?a)?(?a)?a?0；

b是互为相反的向量，则：a??b,b??a,a?b?0。 ③如果a，⑵向量的减法：

向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即a?b?a?(?b)

向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向

量。

注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。 练习：（1）AB?AC （2）OD?OA （3）OA?OD?AD （4）AB?AD?DC

例1.平行四边形ABCD中，AD?a,AB?b，用a、b表示向量AC,DB。

例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD。

3.向量的数乘运算

实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定如下：

⑴|?a|?|?||a|；

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⑵当?>0时，?a的方向与a的方向相同；当?<0时，?a的方向与a的方向相反；特别的，

当?=0或a=0时，?a=0。

注意：实数?与向量a，可以做积，但不可以做加减法，即?+a，?-a是无意义的。 实数与向量的积的运算律：

设a、b为任意向量，?，?为任意实数，则有： ①?(?a)?(??)a； ②(???)a??a??a ③?(a?b)??a??b 例1.计算 (1).(?3)?4a； (2).3(a?b)?2(a?b)?a； (3).(2a?3b?c)?(3a?2b?c)

例2.计算

(1).3(a?b)?2(a?2b); (2).2(2a?6b?3c)?3(?3a?4b?2c)

结论：向量b与非零向量a共线，当且仅当有唯一一个实数?，是的b=?a。 例3.向量a?e1?e2,b??2e1?2e2是否共线？

例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB?a,AD?b,你能用a,b表示

MA,MB,MC,MD吗？

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二、向量运算法则的应用

向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数?、?1、?2，恒有

?(?1a??2b)???1a???2b。

1.有关向量共线问题

b满足例1.已知向量a、a?3ba?b1??(3a?2b)，求证：向量a和b共线。 525

例2.已知AD?3AB,DE?3BC,试判断AC与AE是否共线？

定理的应用：

(1).有关向量共线问题；

(2).证明三点共线：AB??BC(BC?0)?A、B、C三点共线； (3).证明两直线平行问题。

b，试作OA?a?b,OB?a?2b,OC?a?3b，你能判断 例3.已知任意两个非零向量a、A、B、C三点间的位置关系吗？为什么？

例4 .在四边形ABCD中，AB?a?2b,BC??4a?b,CD??5a?3b，求证：四边形ABCD为梯形。

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