【附20套高考模拟试题】2020届上海市进才实验中学高考数学模拟试卷含答案

（2）对任意实数x?1，函数f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围.

（a-b)(x?20.解：（1）由f(x)??f()得，

11)?0，所以a?b.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 xx1?2lnx， 则f(x)?a（x?）x1设x是f(x)的零点，可知也是f(x)的零点，

x??，tn，则有t1t2?tn?1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 不妨设f(x)的零点是t1，t2，??，xn，有ti?exi，i?1.2.?,n 因为t?ex单调递增，设y?f(ex)的零点为x1，x2， 则 ex1?ex2???exn?t1t2?tn?1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 所以x1?x2????xn?0，

故函数y?f(ex)所有零点之和为0. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

112ax2?2x?a?2lnx，f?(x)?a（1?2） （2）解：f(x)?a（x?）┅┅┅┅┅┅6分 ??xxxx2 当a?0时，因为x?1，所以f?(x)?0，f(x)在x??1,???上单调递减，

此时f(2)?f(1)?0与f(x)?0不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 当a?0时，令g(x)?ax2?2x?a，??4-4a2

若??0即a?1时，g(x)?0，f?(x)?0，f(x)在x??1,???上单调递增. f(x)?f(1)?0成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 若??0即0?a?1时，设g(x)的零点为x1，x2?x1?x2?， 则x1?x2?2?0，x1x2?1. 所以有0?x1?1?x2. a 则当x??1,x2?时，g(x)?0，f?(x)?0，f(x)在x??1,x2?上单调递减， f(x)?f(1)?0与f(x)?0不符，（舍）. ┅┅┅┅┅┅┅┅12分

综上：实数a的取值范围是?1,???.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题

21．（原创，难）（本小题满分14分）

3x2y21a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P（1，）已知椭圆C：2?2?（在椭圆C上，满足

2ab9PF1?PF2?.

4??（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M,N，

与直线x?1交于点K（K介于M,N两点之间）. (ⅰ)求证：PM?KN?PN?KM；

(ⅱ)是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求

出l2的方程；若不能，请说明理由.

（（-c?1,?)（?c?1,?)=1-c?21.解：（1）设F1?PF2?1-c,0),F2(c,0),c?0，则PF??3232299?， 44所以c?1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分

因为2a?PF1?PF2=4，所以a?2.

?b2?3 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分

x2y2 故椭圆C的标准方程为??1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

433x2y2 （2）(ⅰ)设l1方程为y??k(x?1)，与??1联立，消y得

243（4k2?3)x2?(12k?8k2)x?(3?2k)2?12?0

由题意知??0，解得k??1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 2因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是

1. 2设直线l2方程：y?1x?t，M（x1,y1),N(x2,y2)， 21?y?x?t??2联立?2，整理得x2?tx?t2?3?0， 2?x?y?1?3?4由??0，得t2?4，

x1?x2??t，x1?x2?t2-3；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分

直线PM、PN的斜率之和kPM?kPN33y2?2?2 ?x1?1x2?1y1?3?3??1?1?x1?t???x2?1???x2?t???x1?1? 22?2??2???x1?1??x2?1??x1x2?(t?2)(x1?x2)?(2t?3)

?x1?1??x2?1??0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分

所以PM、PN关于直线x?1对称，即?MPK??NPK， 在?PMK和?PNK中，由正弦定理得

PNNKPMMK??，，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

sin?PKMsin?MPKsin?PKNsin?NPK又因为?MPK??NPK，?PKM??PKN?180? 所以

PMMK? PNNK故PM?KN?PN?KM成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 (ⅱ)由(ⅰ)知，kPM?kPN?0，kl1??11 ，kl2?. 22（k?0) 假设存在直线l2，满足题意.不妨设kPM?-k，kPN?k，

-k,k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q?-1或q2?-1或q3?-1. 若?，，所以q?-1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 则k?11221，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符， 2故不存在直线l2，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分

【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的

解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.

高考模拟数学试卷

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M??x?2?． ?1?，N??yy?1?x2?，则MIN? （ B ）

?x?A．???,2? B．?0,1? C．?0,2? D．?0,1? 2．复数

3?2i3?2i??（ C ） 2?3i2?3i B.2

C. 2i

D. ?2i

A.0

3.如图，若输出的函数值在区间?，?内，则输入的实数x的取值范围是（B ）

42?11????2? B.??2，?1? C.??1，0? D.?0，1? A.??3，63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A.07 B. 44 C.15 D.51

5.已知等差数列?an?的公差d?0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1?1，Sn为数列?an?的前n项和，则

2Sn?16的最小值为（ B ）

an?3A．3 B．4 C．23?2 D．

9 2?3x?4y?10?0?6. 已知不等式组?x?4表示区域D，过区域D中任意一点P作圆

?y?3?x2?y2?1 的两条切线且切点分别为A,B，当?APB最大时，

cos?APB?（ D ）

A．?3311 B．? C． D． 22227.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( A ) A. 8?14 B. 8?214 C. 2?25?14 D. 16?214 8.将函数f(x)?sin(2x??)(|?|??2)的图象向左平移

?6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在

[0,]上的最小值为（ D ） 2A. ?3311 B. C. ? D. ? 2222