当前位置:首页 > 【附20套高考模拟试题】2020届上海市进才实验中学高考数学模拟试卷含答案
(2)对任意实数x?1,函数f(x)?0恒成立,求实数a的取值范围.
(a-b)(x?20.解:(1)由f(x)??f()得,
11)?0,所以a?b.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 xx1?2lnx, 则f(x)?a(x?)x1设x是f(x)的零点,可知也是f(x)的零点,
x??,tn,则有t1t2?tn?1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 不妨设f(x)的零点是t1,t2,??,xn,有ti?exi,i?1.2.?,n 因为t?ex单调递增,设y?f(ex)的零点为x1,x2, 则 ex1?ex2???exn?t1t2?tn?1,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 所以x1?x2????xn?0,
故函数y?f(ex)所有零点之和为0. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
112ax2?2x?a?2lnx,f?(x)?a(1?2) (2)解:f(x)?a(x?)┅┅┅┅┅┅6分 ??xxxx2 当a?0时,因为x?1,所以f?(x)?0,f(x)在x??1,???上单调递减,
此时f(2)?f(1)?0与f(x)?0不符,(舍)┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 当a?0时,令g(x)?ax2?2x?a,??4-4a2
若??0即a?1时,g(x)?0,f?(x)?0,f(x)在x??1,???上单调递增. f(x)?f(1)?0成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 若??0即0?a?1时,设g(x)的零点为x1,x2?x1?x2?, 则x1?x2?2?0,x1x2?1. 所以有0?x1?1?x2. a 则当x??1,x2?时,g(x)?0,f?(x)?0,f(x)在x??1,x2?上单调递减, f(x)?f(1)?0与f(x)?0不符,(舍). ┅┅┅┅┅┅┅┅12分
综上:实数a的取值范围是?1,???.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 【考点】函数零点,利用导数研究函数不等式恒成立问题
21.(原创,难)(本小题满分14分)
3x2y21a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(1,)已知椭圆C:2?2?(在椭圆C上,满足
2ab9PF1?PF2?.
4??(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l1过点P,且与椭圆只有一个公共点,直线l2与l1的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点P的两点M,N,
与直线x?1交于点K(K介于M,N两点之间). (ⅰ)求证:PM?KN?PN?KM;
(ⅱ)是否存在直线l2,使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列?若能,求
出l2的方程;若不能,请说明理由.
((-c?1,?)(?c?1,?)=1-c?21.解:(1)设F1?PF2?1-c,0),F2(c,0),c?0,则PF??3232299?, 44所以c?1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
因为2a?PF1?PF2=4,所以a?2.
?b2?3 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
x2y2 故椭圆C的标准方程为??1. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
433x2y2 (2)(ⅰ)设l1方程为y??k(x?1),与??1联立,消y得
243(4k2?3)x2?(12k?8k2)x?(3?2k)2?12?0
由题意知??0,解得k??1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 2因为直线l2与l1的倾斜角互补,所以l2的斜率是
1. 2设直线l2方程:y?1x?t,M(x1,y1),N(x2,y2), 21?y?x?t??2联立?2,整理得x2?tx?t2?3?0, 2?x?y?1?3?4由??0,得t2?4,
x1?x2??t,x1?x2?t2-3;┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
直线PM、PN的斜率之和kPM?kPN33y2?2?2 ?x1?1x2?1y1?3?3??1?1?x1?t???x2?1???x2?t???x1?1? 22?2??2???x1?1??x2?1??x1x2?(t?2)(x1?x2)?(2t?3)
?x1?1??x2?1??0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
所以PM、PN关于直线x?1对称,即?MPK??NPK, 在?PMK和?PNK中,由正弦定理得
PNNKPMMK??,,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
sin?PKMsin?MPKsin?PKNsin?NPK又因为?MPK??NPK,?PKM??PKN?180? 所以
PMMK? PNNK故PM?KN?PN?KM成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 (ⅱ)由(ⅰ)知,kPM?kPN?0,kl1??11 ,kl2?. 22(k?0) 假设存在直线l2,满足题意.不妨设kPM?-k,kPN?k,
-k,k按某种排序构成等比数列,设公比为q,则q?-1或q2?-1或q3?-1. 若?,,所以q?-1,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 则k?11221,此时直线PN与l2平行或重合,与题意不符, 2故不存在直线l2,满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
【考点】椭圆的简单性质.椭圆方程的求法,注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程,考查存在性问题的
解法,注意联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和斜率公式,考查正弦定理的运用,考查化简整理的运算能力.
高考模拟数学试卷
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求。 1.已知集合M??x?2?. ?1?,N??yy?1?x2?,则MIN? ( B )
?x?A.???,2? B.?0,1? C.?0,2? D.?0,1? 2.复数
3?2i3?2i??( C ) 2?3i2?3i B.2
C. 2i
D. ?2i
A.0
3.如图,若输出的函数值在区间?,?内,则输入的实数x的取值范围是(B )
42?11????2? B.??2,?1? C.??1,0? D.?0,1? A.??3,63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A.07 B. 44 C.15 D.51
5.已知等差数列?an?的公差d?0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1?1,Sn为数列?an?的前n项和,则
2Sn?16的最小值为( B )
an?3A.3 B.4 C.23?2 D.
9 2?3x?4y?10?0?6. 已知不等式组?x?4表示区域D,过区域D中任意一点P作圆
?y?3?x2?y2?1 的两条切线且切点分别为A,B,当?APB最大时,
cos?APB?( D )
A.?3311 B.? C. D. 22227.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( A ) A. 8?14 B. 8?214 C. 2?25?14 D. 16?214 8.将函数f(x)?sin(2x??)(|?|??2)的图象向左平移
?6个单位后的图象关于原点对称,则函数f(x)在
[0,]上的最小值为( D ) 2A. ?3311 B. C. ? D. ? 2222
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