2020高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1

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3.4 生活中的优化问题举例

学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．生活中的优化问题

(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值． 2．用导数解决优化问题的基本思路

思考：生活中的优化问题一定要用导数解决吗？

[提示] 不一定．例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时，可不用导数求解．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题． (2)生活中的优化问题必须运用导数解决． ( ) (3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题． [答案] (1)√ (2)× (3)√

2．甲工厂八年来某种产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图3-4-1所示：

( ) ( )

图3-4-1

现有下列四种说法：

①前四年该产品产量增长速度越来越快； ②前四年该产品产量增长速度越来越慢； ③第四年后该产品停止生产； ④第四年后该产品年产量保持不变． 其中说法正确的有( ) A．①④ C．①③

B [由图象可知，②④是正确的．]

13392

3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系．y＝x－x－40x(x>0)．为使耗电量最小．则速度应定为

32

B．②④ D．②③

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__________．

40 [y′＝x－39x－40，令y′＝0即x－39x－40＝0， 解得x＝40或x＝－1(舍)． 当040时，y′>0，

13392

所以当x＝40时，函数y＝x－x－40x有最小值．]

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[合 作 探 究·攻 重 难]

2

2

面积、体积的最值问题 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图3-4-2)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

图3-4-2

[思路探究]

设自变量高为x―→

[解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm，则

3

V(x)＝x(90－2x)(48－2x)

＝4x－276x＋4 320x(0＜x＜24)． 所以V′(x)＝12x－552x＋4 320 ＝12(x－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)．

令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)． 当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增； 当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．

因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm)． 因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm.

[规律方法] 1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等． [跟踪训练]

3

3

2

2

3

2

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1．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.

【导学号：97792167】

[解] 设矩形边长AD ＝2x(0

则矩形面积为S＝2x(4－x)＝8x－2x(0

解得x1＝，x2＝－(舍去)．

33

2323

当00，当

3323

所以，当x＝时，S取得最大值，

3323

此时Smax＝.

9

438

即矩形的边长分别为，时，矩形的面积最大．

33

2

2

3

2

2

用料(费用)最省问题 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设

3x＋5

kf(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的函数解析式．

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

[思路探究] 代入数据求k的值?建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)?利用导数求最值． [解] (1)设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)＝，

3x＋5再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝而建造费用为C1(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40

， 3x＋5

kf(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×

(2)f′(x)＝6－

40800

＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． 3x＋53x＋5

2 400

3x＋5

2

2 4003x＋5

2

，令f′(x)＝0即＝6，

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解得x＝5，x＝－(舍去)，

3

当0

f′(x)>0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，

800

对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.

15＋5

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． [规律方法] 解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较． [跟踪训练] 2．如图3-4-3，要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四12

个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x m的圆形草地．为了保

5证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.

图3-4-3

(1)求x的取值范围(2取1.4)；

412a222

(2)若中间草地的造价为a元/m，四个花坛的造价为ax元/m，其余区域的造价为元/m，则当x取何值

3311时，可使“环岛”的整体造价最低？

[解] (1)由题意，得

??100－2x≥60

?1

1002－2x－2×x≥2×10??5

2

x≥9

，解得9≤x≤15.

即x的取值范围为[9,15]．

(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得